Fourieri teisendus: definitsioon, valemid ja rakendused

Fourieri teisendus: selge definitsioon, põhivalemid ja praktilised rakendused signaalitöötluses, krüptos, masinõppes ja teaduses — õppige sagedusspektrit tõlgendama.

Fourier' teisendus on matemaatiline funktsioon, mida kasutatakse signaali või laine aluseks olevate sageduste leidmiseks. See teisendab ajas (või ruumis) määratletud signaali sagedusruumi, kus iga sageduse juures on antud selle sageduse amplituud ja faas. Näiteks kui mängitakse akordi, saab akordi helilaine sisestada Fourier' teisendisse, et leida noodid, millest akord koosneb. Fourier' teisenduse väljundit nimetatakse sageli sagedusspektriks või -jaotuseks, sest see näitab sisendi sageduste spektrit. Seda tööriista kasutatakse laialdaselt krüptograafias, okeanograafias, masinõppes, radioloogias, kvantfüüsikas, aga ka helidisainis ja visualiseerimises.

Määratlus ja valemid

Olgu f ( x ) {\displaystyle f(x)} helistatav (või ruumiliselt määratletud) funktsioon. Selle Fourier' teisendus on antud järgmiselt.

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}}

α {\displaystyle \alpha } on sagedus (nt hertsides).

F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} on Fourier'i teisendusfunktsioon ja annab väärtuse, mis näitab, kui suur on sagedus α {\displaystyle \alpha } originaalsignaalis.

e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} tähistab sisendfunktsiooni f ( x ) {\displaystyle f(x)} mähkimist ümber alguspunkti kompleksitasandis mingi sagedusega α {\displaystyle \alpha } . See mähkimine (modulatsioon) on põhimehhanism, mille abil teisendus "eraldab" signaali erinevaid sageduskomponente.

Inversne Fourier' teisendus on antud järgmiselt:

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }

See pöördumisvalem võimaldab sagedusruumis saadud teabe põhjal originaalsignaali taastada, tingimusel et signaal vastab teatud olemasolutingimustele (nt on absoluutselt integreeritav või kuulub L2-ruumi — allpool täpsemalt).

Tõlgendamine: amplituud, faas ja spekter

Fourier' teisendus F(α) on üldjuhul kompleksarv. Selle modul (|F(α)|) annab sageduse α amplituudi (või intensiivsuse), ja arg(F(α)) — argument ehk faas — näitab, kuidas see sagedus suhtub ajas originaalsignaali komponentidega. Sagedusspekterist saab eristada järgmist:

• Amplituudispeter (magnitude spectrum): |F(α)|, näitab, kui "tugev" on iga sagedus.
• Faasispekter: arg(F(α)), oluline signaali täpseks rekonstrueerimiseks.
• Võimsusspekter või energiatihedus: tihti kasutatakse |F(α)|^2 mõõtena, kui huvi on signaali võimsuse jaotuse vastu sagedustes.

Peamised omadused

Fourier' teisendus on väga rikkaliku omaduste kogumiga, millest olulisimad:

• Lineaarsus: teisendus on lineaarne: F{a f + b g} = a F{f} + b F{g}.
• Ajanihe (time shift): kui f(x − x0) siis F(α)e^{-2π i α x0} — nihkega funktsiooni sagedusruumiline teisendus kompenseerib nihke faasiga.
• Sageduse nihke (modulatsioon) teoreem: f(x) e^{2π i α0 x} teisend on F(α − α0) (sagedus nihkub).
• Skaleerimine: f(ax) teisend on (1/|a|) F(α/a) ehk ajaskaal muutub vastavalt sagedusskaalale.
• Konvolutsiooniteoreem: konvolutsioon ajas vastab korrutisele sageduses: F{f * g} = F{f}·F{g} — see on filtrite ja süsteemide analüüsi alus.
• Parsevali teoreem: signaali energia aja- ja sagedusruumis on seotud: ∫|f(x)|^2 dx = ∫|F(α)|^2 dα (sõltuvalt normimisest võib esineda tegur 1).
• Reaalsignaali sümmeetria: kui f(x) on reaalne, siis F(−α) = conj(F(α)), mis tähendab peegelsümmeetriat sagedusspektis.

Olemasolutingimused ja normaliseerimine

Selleks et Fourier' teisendus eksisteeriks klassikalises tähenduses, on tavaliselt nõutud:

• f ∈ L1 (absoluutselt integreeritav) — siis teisendus on igas α olemas ja pidev;
• või f ∈ L2 (ruumi energia signaal) — teisendus eksisteerib ruumis L2 ja pöördumine kehtib ruumi tähenduses (Plancherel / Parseval).

Oluline on tähele panna, et standardeid normaliseerimiseks on mitu: siinuses kasutatud vorm kasutab sagedust α (Hz) koos faktoriga 2π eksponentis. Teine levinud formaal kasutab nurksagedust ω = 2π α ja eksponenti e^{-i ω t}; teisenduse prefaktorid (1 või 1/2π) võivad varieeruda sõltuvalt konventsioonist.

Diskreetne Fourier' teisendus, DFT ja FFT

Reaalsetes rakendustes töötatakse sageli diskreetsete proovidega. Peamised mõisted:

• DTFT (Discrete-Time Fourier Transform): diskreetse aja signaali pidev-sageduselne teisendus (periodiline sagedusruumis).
• DFT (Discrete Fourier Transform): lõpliku pikkusega (N punkti) signaali teisendus, mida arvutatakse täpselt numbriliselt; väljund on N komplekshulka, mis esindab võrdluse sagedusi.
• FFT (Fast Fourier Transform): efektiivne algoritm DFT kiireks arvutamiseks, mis vähendab arvutuste arvu O(N^2)-st O(N log N)-ni ja on tänapäeva digitaalsete signaalitöötluse aluseks.

Diskreetse andmeproovi puhul tuleb arvestada proovitamise ja Nyquisti sagedusega: proovitamiskiirus määrab maksimaalse eristatava sageduse (Nyquist = proovitamiskiirus / 2). Kui signaali esineb kõrgemaid sagedusi kui Nyquist, tekib aliasing ehk sageduste kattumine.

Rakendused ja praktilised kaalutlused

Fourier' teisendus on universaalne tööriist mitmes valdkonnas. Mõningad olulisemad rakendused:

• Heli- ja muusikatöötlemine: helisignaalide sageduskomponentide analüüs, helifiltrid, kõne kodeerimine ja häälitöötlus. Näiteks akordi analüüs ja noodide tuvastamine.
• Pilditöötlus: servade tuvastus, müra vähendamine ja sujuvdamine; pildifiltrid sageli lihtsamalt kirjeldatavad sagedusruumis.
• Süsteemide ja filterteooria: lineaarsete süsteemide sagedusülekande leidmine, disain ja analüüs.
• Telekommunikatsioon: modulatsioon, signaalide edastamine ja kanali analüüs.
• Meditsiiniline kujutis/ radioloogia: MRI ja CT protsessid kasutavad sagedusruumi transformatsioone pildi rekonstrueerimiseks.
• Masinõpe ja statistika: signaalide omaduste ekstraktsioon, tunnuste leidmine ja filtreerimine.
• Füüsika ja inseneriteadus: lainete analüüs, kvantmehaanika lahendid ja muud rakendused, kus diferentsiaalvõrrandid lihtsustuvad sagedusruumis.

Praktilised märksõnad

• Akustiline näide: helilaine, mis sisaldab kolme erinevat muusikalist nooti, annab Fourier' teisenduses kolm eraldiseisvat tippu (kui noodid on püsivad ja puhtad). Kui graafikul on sagedus x-teljel ja intensiivsus y-teljel, siis igal sagedusel on tipp vastava noodiga.
• Aeg-sageduse analüüs: ajas muutuvate signaalide puhul kasutatakse lühiajalist Fourier' teisendust (STFT) või spektrogramme, et saada lokaalne sageduste jaotus ajas.
• Windowing (akende kasutamine): lõpmatu signaali mõõtmise piiramisel esineb lekkimine (spectral leakage); akende (window functions) kasutamine vähendab seda mõju, kuid muudab resulutsiooni.

Fourier' teisenduse arvutamine nõuab integratsiooni ja imaginaararvude mõistmist. Praktikas kasutatakse arvutit, et arvutada Fourier' teisendusi enamikele signaalidele. Kiire Fourier' teisendus on meetod, mida arvutid kasutavad Fourier' teisenduse kiireks arvutamiseks (nt DFT arvutamine).

Pildid ja illustreerivad näited

Kokkuvõte: Fourier' teisendus on võimas ja universaalne meetod signaalide analüüsiks sagedusruumis. See võimaldab eraldada ja mõõta signaali erinevaid sageduskomponente, mõista nende amplituudi ja faasi ning kasutada seda teavet filtrite, analüüsi ja signaalitöötluse ülesannete lahendamiseks. Praktilistel eesmärkidel kasutatakse tihti diskreetseid ja algoritmilisi variante (DFT/FFT) ning tuleb arvestada proovitamise, aliasingu ja akendamise nüanssidega.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Fourier' teisendus?

K: Millised on Fourier' teisenduse kasutusalad?

K: Kuidas arvutatakse Fourier' teisendust?

K: Kuidas näeb välja Fourier' teisenduse väljund?

K: Kuidas arvutid arvutavad kiiret Fourier' teisendust?

K: Mida ei näita meile signaalide vaatlemine aja suhtes?

Otsing