Kinemaatika: definitsioon, põhimõisted ja rakendused mehaanikas

Kinemaatika on klassikalise mehaanika haru, mis kirjeldab punktide, kehade (objektide) ja kehade süsteemide (objektide rühmade) liikumist, vaatlemata selle liikumise põhjust. Termin on tõlgitud prantsuse keelest; A. M. Ampère kasutas terminit cinématique. Ta konstrueeris termini kreeka κίνημα, kinema (liikumine, liikumine), mis on tuletatud sõnast κινεῖν, kinein (liikuma). Kinemaatika uurimist nimetatakse sageli liikumise geomeetriaks.

Liikumise kirjeldamiseks uurib kinemaatika punktide, joonte ja muude geomeetriliste objektide liikumisteid ruumis ning mõningaid nende omadusi, näiteks kiirust ja kiirendust. Astrofüüsika kasutab kinemaatikat taevakehade ja -süsteemide liikumise kirjeldamiseks. Mehaanika, robootika ja biomehaanika kasutavad seda ühendatud osadest koosnevate süsteemide, näiteks mootori, robotkäe või inimkeha skeleti liikumise kirjeldamiseks.

Põhimõisted ja kineetilised suurused

Kinemaatika põhikontseptsioonid on järgmised:

• Positsioon (koordinaadid) — keha asukoht valitud koordinaatsüsteemis, tavaliselt vektorina r(t) aja funktsioonina.
• Nihke — positsiooni muutus kahe ajahetke vahel, vektoriline suurus, mis ei sõltu uuritava trajektoori asukohast (võrreldes kaugusega).
• Keskmine kiirus — nihke suhe ajavahemiku pikkusega; hetkekiirus v(t) on positsiooni esimeseks ajatuletiseks: v(t) = dr/dt.
• Kiirendus — hetkekiiruse ajatuletis: a(t) = dv/dt = d2r/dt2; see iseloomustab kiiruse muutumise kiirust.
• Nurksuurused (nurkpositsioon, nurkkiirus ω, nurkkiirendus α) — kirjeldavad pöörlemist ühes või mitmes teljes.

Kindel eristus on ka keskmise ja hetke suuruse vahel ning vektorite suunast — kiirus on vektor, samas kui sageli kasutatav kiirenduse suurus (kiirusensagedus) on skalaarnumber. Kinemaatika kasutab sageli tuletisi ja integraale aja suhtes, et seostada trajektoori erinevaid omadusi.

Koordinaatsüsteemid, vaatluspunkt ja muutused

Liikumise kirjeldamiseks tuleb valida sobiv koordinaatsüsteem ja viitenurk (väljendatakse sageli referentsraamina). Tüüpilised valikud on cartesiani koordinaadid (x,y,z), polaar- või sfäärkoordinaadid. Kinemaatika sõltub valitud vaatluspunktist ja koordinaadist; samale füüsilisele liikumisele vastavad erinevas süsteemis erinevad numbrilised kirjeldused.

Matemaatiliselt kirjeldatakse koordinaadisüsteemide vahelisi teisendusi nihke ja rotatsiooni kaudu. Rotatsioone saab kujutada mitmel moel: pöörlemisega seotud maatriksitega, kompleksitasandi ühikringi elementidega (tasapinnaliikumiseks), Euler’i nurkade, kvaternionide või siinus-kosinus esitusega. Relativistlikus kinemaatikas kasutatakse Lorentzi transformatsioone, kus aeg ja ruum ühenduvad ning ühikutega seotud teisendused erinevad klassikalisest Newtoni kujutlusest.

Jäik keha kinemaatika ja teisendused

Jäik keha kinemaatikas eeldatakse, et keha kõik punktid säilitavad omavahelised kaugused (keha ei deformeeru). Selliste süsteemide liikumist saab kirjeldada jäikade teisenduste abil (translation + rotation). Praktiliselt kasutatakse:

• 3×3 rotatsioonimaatrikseid tasapinnal või ruumis pöörlemise kirjeldamiseks;
• 4×4 homogeenseid teisenduse maatrikseid, mis kombineerivad rotatsiooni ja translatsiooni ühes maatriksis — see on eriti kasulik robootikas ja mehaanika simulatsioonides;
• angulaarsed kiirused, mida seostatakse antisümeetriliste maatriksite (skew-symmetric) kaudu; nendest tuletatakse pöörlemise kiirendused ja trajektoorid.

Rotatsioonimaatriksite omadused (ortogonaalsus, determinandi väärtus 1) ja üleminekud Euler’i nurkade, rotatsioonivektorite või kvaternionide vahel on praktikas olulised, kuna need mõjutavad arvutusstabiilsust ja singulariteete (näiteks gimbal lock Euler’i kujutustes).

Liikumise tüübid ja kinemaatilised piirangud

Liikumine võib olla lineaarselt või pöörlev ning kombineeritud. Mitu keha ühendamisel tekivad kinemaatilised piirangud ja vabadusastmete mudel — näiteks mehhanismidel on liigendid (revoluut-, prismatic-, kuulliigend jms), mis määravad iga komponendi võimalikud liikumissuuna(d). Olulised mõisted:

• Vabadusastmete (DOF) arv — kui palju sõltumatuid parameetreid kirjeldab süsteemi asendit;
• Kinemaatilised seosed (constraint equations) — võrrandid, mis seovad kehaosade koordinaate, takistades vabal kujul liikumist;
• Liikumisulatuse analüüs (workspace) — punktide komplekt, mida mehhanism suudab saavutada; vastupidiselt kasutab kineetiline süntees disainiks, et saavutada soovitud tööpiirkond.

Edasi- ja tagurpidi kinemaatika

Ro bootikas ja mehhatroonikas on kaks keskset ülesannet:

• Frontaalne (edasi) kinemaatika — antud liigendnurkade või nihkete korral arvutada tööriista või lõpptelje ruumiline asend ja orientatsioon;
• Inverse (tagurpidi) kinemaatika — antud lõppasendi korral leida liigendparameetrid; see probleem võib olla mitmetähenduslik, mittelineaarne ja mõnikord keeruline numbriliselt lahendada.

Kinemaatika ja dünaamika (kineetika)

Kinemaatika iseenesest ei käsitle jõude ega massi — see keskendub vaid liikumise geomeetriale ja ajale. Kui tekkib vajadus seostada liikumisega jõud ja momentid, astub mängu dünaamika ehk kineetika. Dünaamika uurib, kuidas jõud põhjustavad liikumist (võrrandid Newtoni seadustele või Lagrange’i/Hamiltoni meetoditele tuginedes).

Rakendused

Kinemaatika on laialdaselt rakendatav valdkondades nagu:

• Robootika: manipulaatorite liikumise modelleerimine, juhtimine, trajektoori planeerimine;
• Biom keh aanik a: inimliigutuste ja vigastuste analüüs, proteeside ja ortooside disain;
• Astrofüüsika ja kosmosetehnika: planeetide, satelliitide ja mehhanismide trajektooride kirjeldamine;
• Masinatega mehaanika: kampagesüsteemid, käigud, mootori ja transmisjoni liikumishälbed;
• Transport ja sõidukid: rehvi pöörlemine, vedrustuse liikumised, navigeerimine;
• Mõõtetehnika: liikumise optiline salvestus, radari- ja lidarsüsteemid, inertsimõõtesüsteemid (IMU), enkoodrid ja GPS.

Mõõtmismeetodid ja rakendatavus inseneritöös

Kinemaatilist analüüsi toetavad erinevad mõõtmisvahendid:

• Optilised liikumiskatkestid ja markeripõhised motion-capture süsteemid (valguskaamerad, reflekteerivad markerid) — kasutatakse biomehaanikas ja animatsioonis;
• Rotatsiooni- ja positsioneerimisandurid (enkoodrid, resoluutsed andurid) — levinud robotite ja masinate juhtimises;
• Inertsiaalsed mõõtesüsteemid (IMU) — kiirendusmõõturid ja güroskoopide kombinatsioon liikumise hindamiseks reaalajas;
• GPS ja visuaalne lokaalsus (VSLAM) — suured skaalad ja välitingimused;
• Simulatsioonitarkvara (multibody dynamics, CAD-põhised modelleerijad) — võimaldavad enne füüsilist prototüüpimist hinnata tööulatust, kokkupuutepunkte ja liikumisi.

Matemaatiline abstraktsioon ja laiendused

Kinemaatikat saab abstraheerida puhtalt matemaatilisteks funktsioonideks ja rühmateooriaks: pöörlemisi kirjeldavad rühmad SO(2), SO(3) ja vastavad Lie-algebra struktuurid annavad raamistiku teoreetiliseks analüüsiks. Matemaatikud on kirjeldanud ka kineetilise geomeetria teooriaid, kus aeg on parameeter ja ruumi‐aja struktuurid mängivad olulist rolli. Sellised abstraktsioonid on olulised nii klassikalises inseneripraktikas kui ka kaasaegses teadustöös, kus kombineeritakse geomeetrilisi ja numbrilisi meetodeid.

Kinemaatiline analüüs on liikumist kirjeldavate kineetiliste suuruste mõõtmise protsess. Inseneriteaduses võib kineetilist analüüsi kasutada antud mehhanismi liikumisulatuse leidmiseks ja vastupidiselt töötades kineetiline süntees projekteerib mehhanismi soovitud liikumisulatuse jaoks. Lisaks sellele rakendatakse kineetika algebralist geomeetriat mehaanilise süsteemi või mehhanismi mehaanilise eelise uurimiseks.

Lõpuks on kinemaatika tihedalt seotud paljude teiste distsipliinidega: sellest tuleneb otsene seos insenerilahenduste, algoritmide ja mõõtetehnoloogiatega, mistõttu on kinemaatika fundamentaalne teadus nii teoreetilises kui praktilises kontekstis.

Küsimused ja vastused

K: Mis on kineetika?

K: Mida mõõdab kineetiline analüüs?

K: Mis on jäigad transformatsioonid?

K: Kuidas saab kineetikat abstraheerida matemaatilisteks funktsioonideks?

K: Kuidas saab kineetikat rakendada inseneriteaduses?

K: Kus veel kasutatakse kinemaatikat peale inseneriteaduse?

Otsing