Matemaatiline analüüs

Matemaatiline analüüs on osa matemaatikast. Seda lühendatakse sageli analüüsiks. Selles vaadeldakse funktsioone, jadasid ja jadasid. Neil on kasulikud omadused ja tunnused, mida saab kasutada inseneriteaduses. Matemaatiline analüüs käsitleb pidevaid funktsioone, diferentsiaalarvutust ja integratsiooni.

Gottfried Wilhelm Leibniz ja Isaac Newton töötasid välja suurema osa matemaatilise analüüsi alustest.

Matemaatilise analüüsi osad

Piirid

Matemaatilise analüüsi näide on piirid. Piirväärtusi kasutatakse selleks, et näha, mis toimub väga lähedal asjade juures. Piirväärtusi saab kasutada ka selleks, et näha, mis juhtub, kui asjad muutuvad väga suureks. Näiteks 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ ei ole kunagi null, kuid kui n muutub suuremaks, siis 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ läheneb nullile. Piirväärtus 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ on n suurenedes null. Tavaliselt öeldakse: "1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ piirväärtus, kui n läheb lõpmatusse, on null". Seda kirjutatakse järgmiselt: lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

Vastandiks oleks 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}} ${2}\times {n}$ . Kui n {\displaystyle {n}} ${n}$ muutub suuremaks, läheb piir lõpmatuseni. See kirjutatakse kujul lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

Algebra fundamentaalset teoreemi saab tõestada mõnest kompleksanalüüsi põhitulemusest. See ütleb, et igal reaal- või komplekskoefitsientidega polünoomil f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) on kompleksjuur. Juur on arv x, mis annab lahenduse f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} $f(x)=0$ . Mõned neist juurtest võivad olla samad.

Diferentsiaalarvutus

Funktsioon f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}} $f(x)={m}{x}+{c}$ on sirge. M {\displaystyle {m}} ${m}$ näitab funktsiooni tõusu ja c {\displaystyle {c}} ${c}$ näitab funktsiooni asukohta ordinaadil. Kahe punktiga joonel on võimalik arvutada tõusu m {\displaystyle {m}} ${m}$ koos:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} . $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

Funktsioon kujul f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ , mis ei ole lineaarne, ei saa arvutada nagu eespool. Kalda on võimalik arvutada ainult puutujaid ja sekantse kasutades. Sekant läbib kahte punkti ja kui need kaks punkti lähenevad teineteisele, muutub see tangentsiks.

Uus valem on m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} . $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$

Seda nimetatakse erinevuskoefitsiendiks. x 1 {\displaystyle x_{1}} $x_{1}$ läheneb nüüd x 0 {\displaystyle x_{0}} $x_{0}$ . Seda saab väljendada järgmise valemiga:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} . $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

Tulemust nimetatakse f tuletiseks või tõusuks punktis x {\displaystyle {x}} ${x}$ .

Integratsioon

Integreerimine on seotud pindalade arvutamisega.

Sümbol ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

loetakse kui "integraal f, a-st b-ni" ja viitab pindalale x-telje, funktsiooni f graafiku ja sirgete x=a ja x=b vahel. Punkt a {\displaystyle a} on punkt, kus ala peaks algama, ja punkt b {\displaystyle b} $b$ , kus ala lõpeb.

Seotud leheküljed

Mõned teemad analüüsis on järgmised:

Kalkulatsioon
Kompleksne analüüs
Funktsionaalne analüüs
Numbriline analüüs

Mõned kasulikud ideed analüüsimisel on järgmised:

Seeria
Järjestused
Tuletisinstrumendid
Integraalid

Küsimused ja vastused

K: Mis on matemaatiline analüüs?

V: Matemaatiline analüüs on matemaatika osa, mis käsitleb funktsioone, jadasid ja jadasid. See annab range loogilise aluse matemaatikale, mis uurib pidevaid funktsioone, diferentseerimist ja integreerimist.

K: Millised on matemaatilise analüüsi mõned peamised alavaldkonnad?

V: Mõned matemaatilise analüüsi peamised alavaldkonnad on reaalanalüüs, kompleksanalüüs, diferentsiaalvõrrandite analüüs ja funktsionaalanalüüs.

K: Kuidas saab matemaatilist analüüsi kasutada inseneriteaduses?

V: Matemaatilist analüüsi saab kasutada inseneriteaduses, uurides funktsioonide, jadade ja sarjade kasulikke omadusi ja omadusi.

K: Kes töötas välja suurema osa matemaatilise analüüsi alustest?

V: Gottfried Wilhelm Leibniz ja Isaac Newton töötasid välja suurema osa matemaatilise analüüsi alustest.

K: Mis oli matemaatilise analüüsi vana nimetus?

V: Matemaatilise analüüsi vana nimetus oli "infinitesimaalne" või "kalkulatsioon".

K: Kuidas on kalkulatsioon seotud matemaatilise analüüsiga?

V: Kalkulus uurib pidevaid funktsioone, diferentseerimist ja integratsiooni, mis kõik on seotud matemaatika valdkonnaga, mida tuntakse matemaatilise analüüsi nime all.