Väga varsti pärast seda, kui Werner Heisenberg lõi uue kvantfüüsika, tuli otse tema matemaatikast välja midagi ootamatut, väljend:
Δ x Δ p ≳ h 4 π {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\gtrsim {\frac {h}{4\pi }\qquad \qquad \qquad \qquad } 
Positsioonivea (x) korrutatuna impulsi (p) vea vahemikuga on umbes võrdne või suurem kui Plancki konstant jagatud 4π-ga.
Need sümbolid panevad matemaatiliselt kirja selle, mida te juba nägite ülaltoodud piltidel. Sümbolid ütlevad selgelt, et te ei saa olla täiesti kindel, kus miski on ja kuhu see läheb. Kui te saate selgemalt aru, kus see igal ajal on, siis on teil vähem aimu, kuhu ja kui kiiresti see liigub. Kui te saate igal ajal selgemaks, kuhu see läheb ja kui kiiresti, siis on teil vähem ettekujutust sellest, kus see praegu on.
Teadlased olid juba teada saanud, miks teatavad ained annavad kuumutamisel või muul viisil ergastamisel iseloomulikke valgusvärve. Heisenberg püüdis seletada, miks neil värvidel on iseloomulik heledus. Sellest ei oleks piisanud, kui ta ja teised teadlased oleksid lihtsalt öelnud: "Noh, see on lihtsalt nii". Nad olid kindlad, et nendele erinevustele ja sellele, et heledate joonte tugevuste vahekord oli iga elemendi proovi puhul alati ühesugune, pidi olema hea põhjus.
Tal polnud aimugi, et ta komistab looduse varjatud saladuse otsa, kui ta asus avastama igale elemendile iseloomulike värviliste joonte intensiivsuse seletust. Kvantmehaanika uurimine oli juba näidanud, miks vesinikul on neli heledat joont selles spektriosas, mida inimesed näevad. Ilmselt tundus, et järgmine asi, mida tuli õppida, on lihtsalt see, kuidas nende heledust arvutada. Vesinik tundus olevat ilmselge koht, kust alustada, sest vesinikul on ainult üks elektron, millega tuleb toime tulla, ja ainult neli joont spektri nähtavas osas. Kindlasti peab olema hea põhjus, miks need ei ole võrdselt heledad. Seletus neooni ja teiste elementide erivärviliste joonte heledusele võis oodata.
Heisenberg alustas tööd kvantfüüsikaga, kohandades klassikalisi elektrienergia võrrandeid, mis on algselt väga keerulised, nii et tema 1925. aasta töö matemaatikat oli väga raske jälgida.
Ta püüdis leida õiget viisi, kuidas arvutada heledate joonte intensiivsust vesiniklampide spektris. Ta pidi leidma seotud suuruse nimega "amplituud" ja korrutama amplituudi amplituudiga (ehk teisisõnu pidi ta amplituudi ruudutama), et saada soovitud intensiivsus. Ta pidi välja mõtlema, kuidas väljendada amplituudi viisil, mis võtaks arvesse asjaolu, et vesiniklambid ei kiirga kõikidel sagedustel ja ei kiirga spektri inimeste poolt nähtava spektriosa pidevas sagedusalas. Heisenberg leidis märkimisväärse uue viisi amplituudi arvutamiseks.
Kummaline võrrand|võrrand, mille Heisenberg avastas ja mida ta kasutas ühe kvantkoguse (nt positsioon) korrutamiseks teise kvantkogusega (nt impulss), avaldati 1925. aasta juulis avaldatud "Heisenbergi "maagilises" dokumendis" (Heisenberg's 'magic' paper of July 1925).
C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\displaystyle C(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,A(n,n-a)B(n-a,n-b)} 
Ülaltoodud matemaatika tundub väga raske, kuid sellele eelnev matemaatika on palju raskem ja seda on äärmiselt raske mõista. See on siin toodud lihtsalt selleks, et näidata, kuidas see välja nägi. Heisenbergi töö on ajalooline verstapost. Paljud füüsikud, kes lugesid tema tööd, ütlesid, et nad ei saa tema järeldustega mitte nõustuda, kuid nad ei suutnud jälgida tema selgitusi, kuidas ta nende järeldusteni jõudis. Heisenbergi kasutatud algvõrrandid hõlmasid Fourier' jadasid, milles oli palju tegureid. Me tuleme tagasi ülaltoodud võrrandi juurde, sest see on omamoodi retsept maatriksite välja kirjutamiseks ja korrutamiseks.
Uued võrrandid pidid olema nii kummalised ja ebatavalised, sest Heisenberg kirjeldas kummalist maailma, kus mõned asjad, näiteks elektronide orbiidid, ei muutu aeglaselt suuremaks ega väiksemaks. Uut tüüpi muutused hõlmavad hüppeid ja suuri vahed hüpetevahelisi lünki. Elektronid saavad hüpata ainult teatud orbiitide vahel ning orbiitide vahelisel muutumisel saadud või kaotatud energia tekib siis, kui neeldub õige energiaga footon või tekib uus õige energiaga footon. Kui vesiniku aatomi elektronid hüppavad kõige sagedamini kahe konkreetse orbiidi vahel alla (langevad), siis emiteeritakse sellel energiatasemel rohkem footoneid ja seega on sellel tasemel tekkiv valgus kõige intensiivsem.
Raske oli panna pidevate spektrite (mida näete, kui panete päikesevalguse läbi prisma) jaoks loodud võrrandeid sobima spektritega, millel on vaid mõned tippsagedused, mille vahel ei ole midagi. Peaaegu kõik, mida oli juba valguse ja energia kohta teada saadud, oli tehtud suurte asjadega, nagu põlevad küünlad või päike, ja need suured objektid annavad kõik pidevaid spektreid. Kuigi nende tavalise suurusega asjadega oli lihtne eksperimente teha, oli ikkagi kulunud palju aega, et välja selgitada neid reguleerivaid (füüsika)seadusi. Nüüd tegelesid füüsikud liiga väikeste asjadega, mis ei tekitanud pidevaid spektreid, ja püüdsid leida viisi, kuidas saada vähemalt vihjeid sellest, mida nad juba teadsid, mis aitaks neil leida nende väikeste ja hajusate valgusallikate seadusi.
Esialgsed võrrandid käsitlesid mingisugust vibreerivat keha, mis tekitaks laine, natuke nii nagu orelil olev pillikeel tekitab iseloomuliku sagedusega helilaine. Seega oli liikumine edasi-tagasi (nagu pilliroo võnkumine) ja tekkis kiiratav laine, mida võis graafiliselt kujutada siinuslainena. Suur osa sellest, mida varem oli füüsika kohta aatomi tasandil välja selgitatud, oli seotud elektronide liikumisega tuumade ümber. Kui mass liigub orbiidil, kui ta pöörleb ümber mingi keskme, siis on tal nn "nurkamoment". Nurkliikumism on see, kuidas midagi sellist nagu karussell jätkab pöörlemist pärast seda, kui inimesed on lõpetanud selle lükkamise. Matemaatika, mida kasutatakse faaside ja nurkmomendi arvutamiseks, on keeruline. Pealegi ei näidanud Heisenberg oma 1925. aasta töös kõiki oma arvutusi, nii et isegi headel matemaatikutel võib olla raskusi selle täitmisega, mida ta ei öelnud.
Kuigi paljud füüsikud ütlesid, et nad ei suutnud välja mõelda erinevaid matemaatilisi samme Heisenbergi läbimurdelises töös, kasutab üks hiljutine artikkel, mis püüab selgitada, kuidas Heisenberg oma tulemuseni jõudis, kakskümmend matemaatikaga täidetud lehekülge. Isegi sellest artiklist ei ole lihtne aru saada. Matemaatika algas väga rasketest asjadest ja lõpuks annaks tulemuseks midagi suhteliselt lihtsat, mis on näidatud selle artikli ülaosas. Lihtsama tulemuse saamine ei olnud lihtne, ja me ei püüa näidata protsessi, kuidas jõuda iganenud universumi pildilt uue kvantfüüsikani. Meil on vaja vaid piisavalt üksikasju, et näidata, et peaaegu kohe, kui Heisenberg tegi oma läbimurde, tuli nähtavale osa universumi toimimisest, mida keegi varem ei olnud näinud.
Heisenberg pidi olema väga põnevil, kuid ka väga väsinud, kui ta hilisõhtul lõpuks oma läbimurde tegi ja hakkas endale tõestama, et see töötab. Peaaegu kohe märkas ta midagi kummalist, midagi, mida ta pidas tüütuks väikeseks probleemiks, mille ta võiks kuidagi kõrvaldada. Kuid selgus, et see väike häda oli suur avastus.
Heisenberg oli töötanud amplituudi korrutamise suunas amplituudiga ja nüüd oli Heisenbergil hea viis amplituudi väljendamiseks, kasutades oma uut võrrandit. Loomulikult mõtles ta korrutamisele ja sellele, kuidas ta korrutaks asju, mis olid antud keeruliste võrrandite abil.
Heisenberg mõistis, et lisaks amplituudi ruutkeskmisele tahab ta lõpuks korrutada positsiooni impulsiga või korrutada energiat ajaga, ja tundus, et neil uutel juhtudel oleks vahet, kui ta pööraks järjekorra ümber. Heisenberg arvas, et ei peaks olema oluline, kas korrutada positsiooni impulsiga või korrutada impulsi positsiooniga. Kui need oleksid olnud vaid lihtsad arvud, poleks olnud mingit probleemi. Kuid need olid mõlemad keerulised võrrandid ja see, kuidas sa said arvud võrranditesse sisestada, osutus erinevaks sõltuvalt sellest, kummal viisil sa alustasid. Looduses tuli mõõta asukohta ja seejärel mõõta impulssi või siis mõõta impulssi ja seejärel asukohta, ja matemaatikas valitses sama üldine olukord. (Vaata ingliskeelset Vikipeedia artiklit Heisenbergi sissekäik maatriksmehaanikasse, kui tahad teada saada keerulisi üksikasju!) Pisikesed, kuid tüütud erinevused tulemuste vahel pidid jääma, ükskõik kui väga Heisenberg ka ei soovinud, et need kaduma läheksid.
Sel ajal ei saanud Heisenberg sellest ühest väikesest probleemist lahti, kuid ta oli kurnatud, nii et ta andis oma töö oma otsesele ülemusele Max Bornile üle ja läks puhkusele.
Max Born oli tähelepanuväärne matemaatik, kes peagi nägi, et Heisenbergi antud võrrand oli omamoodi retsept maatriksi kirjutamiseks. Dr. Born oli tol ajal üks väheseid inimesi, kes huvitus sellest kummalisest matemaatikast, millest enamik inimesi arvas, et see ei ole eriti hea. Ta teadis, et maatriksid saab korrutada, nii et kõiki arvutusi ühe füüsikaprobleemi arvestamiseks saab teha ühe maatriksi korrutamisega teise maatriksiga. Lihtsalt võime panna keerulise protseduuri standardsesse ja vastuvõetavasse vormi, muudaks selle töö lihtsamaks. See võiks muuta selle ka teiste inimeste jaoks kergemini vastuvõetavaks.
Born oli nii hea matemaatik, et ta sai peaaegu kohe aru, et kahe maatriksi korrutamise järjekorra muutmine annab erineva tulemuse, ja tulemused erineksid väikese summa võrra. See summa oleks h/2πi. Igapäevaelus oleks see erinevus nii väike, et me isegi ei näeks seda.
