Hüperboolne geomeetria: definitsioon, paralleelpostulaat ja mudelid
Hüperboolne geomeetria: selge ülevaade definitsioonist, paralleelpostulaadi murdumisest ja mudelitest — intuitiivsed näited, tõestused ja rakendused teadlastele ja õppijatele.
Matemaatikas on hüperboolne geomeetria mitte-eukleidiline geomeetria, mis tähendab, et eukleidilise geomeetria paralleelipostulaat on asendatud. Eukleidilise geomeetria paralleelipostulaat ütleb, et mis tahes antud sirge l ja punkti P puhul, mis ei asu l peal, on kahe mõõtmelises ruumis täpselt üks sirge läbi P, mis ei lõika l-d. Seda sirget nimetatakse paralleelseks l-ga. Hüperboolilises geomeetrias on vähemalt kaks sellist sirget läbi P. Kuna need ei lõika l-d, on paralleelipostulaat vale. Eukleidilise geomeetria raames on konstrueeritud mudeleid, mis järgivad hüperboolse geomeetria aksioomi. Need mudelid tõestavad, et paralleelipostulaat ei sõltu teistest Eukleidese postulaatidest.
Kuna eukleidiliste paralleelsete sirgete hüperboolne analoog puudub, on paralleelsete ja nendega seotud terminite hüperboolne kasutamine kirjanike seas erinev. Käesolevas artiklis nimetatakse kahte piirjoont asümptomaatiliseks ja ühiselt risti asetsevat joont ultraparalleelseks; mõlema puhul võib kasutada ka lihtsat sõna paralleel.
Definitsioon ja peamised omadused
Hüperboolne geomeetria on kahe- või kõrgema mõõtmeliste ruumide teooria, kus paikneb konstantnegatiivse kõverusega (negatiivse gauss-kõverusega) mõõtmelement. Kahe-mõõtmelises hüperboolses geomeetrias on „sirged” ehk geodeesid tüüpiliselt kaardilähedased kõverad, mis paiknevad nii, et need minimeerivad vahemaad kohaliku tasandi järgi.
Olulised omadused kahes dimensioonis (const-kõverus −1 puhul):
- Kolmnurga nurkade summa on alati < π (mida väiksem summa, seda suurem on kolmnurga pindala).
- Kolmnurga pindala on võrdeline nurkade defektiga: kui kõverus on −1, siis pindala A = π − (α + β + γ).
- Pindala annab absoluutse mõõdu — hüperboolses geomeetrias puudub eukleidiline sarnasuse-skaala: sarnasus (võrdsete nurkade olemasolul) tähendab sageli ka kongruentsust, s.t. sarnased kolmnurgad on tegelikult võrdse suurusega.
- Ristuvate geodeeside paaride käitumine ja horisondi/ideaalsete punktide olemasolu (jooned, mis „koonduvad” lõpmatuspunkti) eristab hüperboolset geomeetriat eukleidilisest.
Paralleelpostulaat ja paralleelsuse tüübid
Hüperboolses geomeetrias ei kehti Eukleidese viies postulaat; selle asemel kehtib nõue, et läbi punktist väljaspool sirge l läbib rohkem kui üks sirge, mis ei lõika l. Sellest tulenevalt eristatakse sageli kahe liiki „paralleelsust”:
- Asümptomaatilised (limiting parallel) sirged — need ei lõiku, kuid lähenevad üksteisele ühes suunas selliselt, et nende lõpmatuspunkt (ideaalpunkt) on sama; neid võib käsitleda kui piirjuhtumeid, kus sirged „puutuvad” lõpmatuses.
- Ultraparalleelsed sirged — kaks sirget, mis ei lõika ega jäta üksteist ühise lõpmatuspunktiga; sellistel sirgetel on olemas täpselt üks ühine normaal (ühine läbiv ristumispunkti mitteomav perpendikulaarsus), st neil on unikaalne ühine läbivahe (common perpendicular).
Mudelid eukleidilises raamistikus
Hüperboolset geomeetriat modelleeritakse Eukleidese tasandil mitmel eri viisil — need mudelid näitavad, et kui Eukleidese geomeetria on konsistentne, on seda ka hüperboolne. Peamised mudelid:
- Poincaré kettamudel — hüperboolsed sirged on ühikuderekordilised kaared, mis on ortogonaalsed piirjoone ehk üksuse ringiga; see mudel on konformne (säilitab nurgad), kuid geodeesid näivad kõverdatud.
- Poincaré pooltasandi mudel — hüperboolne pooltase (üle rea) kus sirged on kas vertikaalsed sirged või poolringid, mis lõikavad rea telge risti; ka see mudel on konformne.
- Beltrami–Kleini mudel — sirged on üksuse ringi sees olevad sirgjoonelised lõiked (kordused); see mudel ei ole konformne (nurgad ei säili), kuid geodeesid kuvatakse otsejoontena.
Esimesed modelleerivad erakordse elegantsiga hüperboolse geomeetria aluse: 19. sajandil andsid teoreetilised panused N. I. Lobatševski ja J. Bolyai, ning E. Beltrami konstrueeris mudeleid, mis näitasid paralleelipostulaadi sõltumatust teistest postulaatidest.
Kasutus ja tähtsus
- Hüperboolset geomeetriat kasutatakse kaasaegses matemaatikas geomeetrias, topoloogias ja rühmateoorias (näit. Fuchs'i ja Kleini rühmade tegutsemine hüperboolsetel ruumidel).
- See on oluline ka teoreetilises füüsikas: üldrelatiivsuse ja erinevate ruumi mudelite uurimisel võivad negatiivse kõverusega ruumid anda sobivaid laiendusi.
- Mudelid näitavad loogiliselt, et Eukleidese paralleelpostulaat ei ole tuletatav ülejäänud aksioomidest — sellega tekkis täielik mittevastavus eelmise sajandi arusaamadega ning avanud tee mitte-eukleidiliste geomeetriate uurimiseks.
Kokkuvõte
Hüperboolne geomeetria on rikas ja sisukas alternatiiv eukleidilisele maailmapildile, kus paralleelid ja geomeetrilised suhted käituvad teisiti: sirged võivad läbi ühe punkti vältida antud sirget mitmel viisil, kolmnurkade nurkade summa on alati väiksem kui π ning ruumi globaalsed omadused on juhitud negatiivsest kõverusest. Mudelid nagu Poincaré ja Beltrami–Kleini annavad praktilised vahendid hüperboolsete konstruktsioonide uurimiseks ning toetavad väidet, et paralleelpostulaat ei sõltu Eukleidese teistest aksioomidest.
Hüperbooliline kolmnurk
Jooned, mis läbivad antud punkti P ja on asümptootilised joonele l.
Mittekõrvalised jooned
Hüperboolse geomeetria huvitav omadus tuleneb sellest, et punktist P kulgeb rohkem kui üks paralleelne joon: on olemas kaks klassi mitte-üleslõigatud sirgeid. Olgu B selline punkt l, et sirge PB on risti l-ga. Vaatleme sirget x läbi P selliselt, et x ei lõika l ja nurk θ PB ja x vahel vastupäeva PB-st on võimalikult väike; st iga väiksem nurk sunnib sirget lõikama l. Seda nimetatakse hüperboolses geomeetrias asümptootiliseks sirgeks. Sümmeetriliselt on asümptootiline ka sirge y, mis moodustab sama nurga θ PB ja tema enda vahel, kuid PB-st päripäeva. x ja y on ainsad kaks sirget, mis on asümptootilised l-ga läbi P. Kõiki teisi sirgeid läbi P, mis ei lõika l ja mille nurk PB-ga on suurem kui θ, nimetatakse ultraparalleelseteks (või disjointly parallel) sirgeteks l. See tähendab, et nad on ultraparalleelsed (või disjointly parallel). Pange tähele, et kuna on lõpmatult palju võimalikke nurki θ ja 90 kraadi vahel ning igaüks neist määrab kaks sirget läbi P ja disjointly parallel to l, siis on olemas lõpmatult palju ultraparalleelseid sirge.
Seega on meil see paralleelpostulaadi modifitseeritud vorm: P on täpselt kaks sirget läbi P, mis on asümptomaatilised l-ga, ja lõpmatult palju sirge läbi P, mis on ultraparalleelsed l-ga.
Nende joontüüpide erinevusi võib vaadelda ka järgmiselt: asümptootiliste joonte vahemaa jookseb ühes suunas nullini ja kasvab piiramatult teises suunas; ultraparalleelsete joonte vahemaa suureneb mõlemas suunas. Ultraparalleelide teoreem väidab, et hüperboolilisel tasapinnal on olemas unikaalne sirge, mis on risti kummagi antud ultraparalleelide paari sirgega.
Eukleidilises geomeetrias on paralleelsusnurk konstant, st mis tahes kaugus ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } paralleelsete sirgete 
vahel annab paralleelsusnurga, mis on võrdne 90°. Hüperboolses geomeetrias muutub paralleelsusnurk 
funktsiooni Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} abil. See Nikolai Ivanovitš Lobatševski poolt kirjeldatud funktsioon annab iga kauguse p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } jaoks unikaalse paralleelsusnurga. 
. Kauguse lühenedes läheneb Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 90°, samas kui kauguse kasvades läheneb Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 0°. Seega käitub hüperboolne tasand kauguste vähenemisel üha enam nagu eukleidiline geomeetria. Tõepoolest, väikestel skaaladel võrreldes 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} 
, kus K {\displaystyle K\! } 
on tasandi (konstantne) Gaussi kõverus, oleks vaatlejal raske kindlaks teha, kas ta on eukleidilises või hüperboolses tasandis.
Ajalugu
Mitmed geomeetrid, sealhulgas Omar Khayyám ja hiljem Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre, üritasid tõestada paralleelipostulaati. Nende katsed ebaõnnestusid, kuid nende jõupingutused sünnitasid hüperboolse geomeetria. Alhaceni, Khayyami teoreemid nelinurkade kohta olid esimesed hüperboolse geomeetria teoreemid. Nende tööd hüperboolse geomeetria kohta mõjutasid selle arengut hilisemate Euroopa geomeetride, sealhulgas Witelo, Alfonso ja John Wallis, seas.
XIX sajandil uurisid hüperboolilist geomeetriat János Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski, kelle järgi seda mõnikord nimetatakse. Lobatševski avaldas selle 1830. aastal, samas kui Bolyai avastas selle iseseisvalt ja avaldas selle 1832. aastal. Karl Friedrich Gauss uuris samuti hüperboolilist geomeetriat, kirjeldades 1824. aasta kirjas Taurinusele, et ta on selle konstrueerinud, kuid ei avaldanud oma tööd. 1868. aastal esitas Eugenio Beltrami selle mudelid ja kasutas neid, et tõestada, et hüperbooliline geomeetria on kooskõlas, kui eukleidiline geomeetria on.
Termin "hüperboolne geomeetria" võeti kasutusele Felix Kleini poolt 1871. aastal. Ajaloo kohta vaata artiklit mitte-eukleidilise geomeetria kohta.
Hüperboolse tasandi mudelid
Hüperboolse geomeetria puhul kasutatakse tavaliselt kolme mudelit: Kleini mudel, Poincaré'i kettamudel ja Lorentzi mudel ehk hüperboloidi mudel. Need mudelid määratlevad reaalse hüperboolse ruumi, mis vastab hüperboolse geomeetria aksioomidele. Vaatamata nimetusele, kaks ketasmudelit ja poolpinnamudelit on hüperboolse ruumi mudelitena kasutusele võtnud Beltrami, mitte Poincaré või Klein.
- Kleini mudel, mida tuntakse ka projektsioonilise ketta mudeli ja Beltrami-Kleini mudelina, kasutab hüperboolse tasandi jaoks ringi sisemust ja ringi akorde kui jooni.
- Poincaré'i pooltasapinna mudel võtab hüperboolseks tasandiks ühe poole Eukleidese tasandist, mis on määratud Eukleidese sirgega B (B ise ei ole hõlmatud).
- Hüperboolilised sirgjooned on siis kas poolringid, mis on B suhtes ortogonaalsed, või kiired, mis on B suhtes risti.
- Mõlemad Poincaré-mudelid säilitavad hüperboolsed nurgad ja on seega konformsed. Seetõttu on kõik isomeetriad nendes mudelites Möbiuse transformatsioonid.
- Pooltasandiline mudel on identne (piiril) Poincaré'i ketta mudeliga ketta serval
- See mudel on otseselt rakendatav erirelatiivsusteooria suhtes, kuna Minkowski 3-ruum on ruumiaja mudel, mis jätab ühe ruumilise dimensiooni välja. Hüperboloidi võib võtta nii, et see kujutab sündmusi, milleni erinevad liikuvad vaatlejad, kes kiirgavad ühest punktist ruumitasapinnal välja, jõuavad kindla aja jooksul. Hüperboloidi kahe punkti vahelist hüperboolilist kaugust saab siis samastada kahe vastava vaatleja vahelise suhtelise kiirusega.
Poincaré-ketta mudeli suur rombitaoline {3,7} plaatimine
Hüperboolse geomeetria visualiseerimine
M. C. Escheri kuulsad graafilised tööd Circle Limit III ja Circle Limit IV illustreerivad üsna hästi konformset kettamudelit. Mõlemal on näha geodeetilised jooned. (III joonisel ei ole valged jooned mitte geodeetilised, vaid hüpertsüklid, mis kulgevad nende kõrval). Samuti on võimalik üsna selgelt näha hüperboolse tasandi negatiivset kumerust, mis avaldub kolmnurkade ja ruutude nurkade summale.
Eukleidilises tasapinnas oleks nende nurkade summa 450°, s.t. ring ja veerand. Sellest näeme, et kolmnurga nurkade summa hüperboolilisel tasandil peab olema väiksem kui 180°. Teine nähtav omadus on eksponentsiaalne kasv. Näiteks IV ringpiiris on näha, et keskpunktist n kaugusele jäävate inglite ja deemonite arv kasvab eksponentsiaalselt. Deemonitel on võrdne hüperboolne pindala, seega peab n raadiusega palli pindala kasvama eksponentsiaalselt n-ga.
Hüperboolse tasapinna (või selle lähendaja) füüsiliseks realiseerimiseks on mitu võimalust. Eriti tuntud pseudosfääril põhinev pabermudel on William Thurstonile omistatud. Hüperbooliliste tasapindade demonstreerimiseks on kasutatud heegelnõudeid, millest esimese tegi Daina Taimina. 2000. aastal demonstreeris Keith Henderson kiiresti valmistatavat pabermudelit, mida nimetati "hüperbooliliseks jalgpalliks".
Heegeldatud hüperboolsete tasapindade kollektsioon, mis imiteerib korallrahu, Institute For Figuring'i poolt
Küsimused ja vastused
K: Mis on hüperboolne geomeetria?
V: Hüperbooliline geomeetria on mitte-eukleidiline geomeetria, mis tähendab, et eukleidilist geomeetriat määratlev paralleelipostulaat ei vasta tõele. Hüperboolilisel tasapinnal muutuvad algselt paralleelsed jooned järjest kaugemale üksteisest.
K: Mille poolest erineb hüperboolne geomeetria tavalisest lamedast tasapinnalisest geomeetriast?
V: Eukleidilise geomeetria reegli asendamine hüperboolse geomeetria reegliga tähendab, et see käitub teisiti kui tavaline lame tasapinnaline geomeetria. Näiteks on kolmnurkade nurgad, mille summa on väiksem kui 180 kraadi, mis tähendab, et nad on liiga teravikud ja näevad välja, nagu vajuksid küljed keskele.
Küsimus: Kas on olemas reaalseid objekte, mis on kujundatud nagu hüperboolse tasapinna tükid?
V: Jah, mõned korallid ja salatid on hüperboolse tasandi tükkide kujuga.
K: Miks võib olla lihtsam joonistada interneti kaarti, kui kaart ei ole lame?
V: Interneti kaarti võib olla lihtsam joonistada, kui kaart ei ole lame, sest servades on rohkem arvuteid, kuid keskel on neid väga vähe.
K: Kas see kontseptsioon kehtib ka millegi muu puhul peale arvutivõrkude kaardistamise?
V: Mõned füüsikud arvavad isegi, et meie universum on veidi hüperboolne.
Otsige