Hüperboolne geomeetria: definitsioon, paralleelpostulaat ja mudelid

Hüperboolse geomeetria huvitav omadus tuleneb sellest, et punktist P kulgeb rohkem kui üks paralleelne joon: on olemas kaks klassi mitte-üleslõigatud sirgeid. Olgu B selline punkt l, et sirge PB on risti l-ga. Vaatleme sirget x läbi P selliselt, et x ei lõika l ja nurk θ PB ja x vahel vastupäeva PB-st on võimalikult väike; st iga väiksem nurk sunnib sirget lõikama l. Seda nimetatakse hüperboolses geomeetrias asümptootiliseks sirgeks. Sümmeetriliselt on asümptootiline ka sirge y, mis moodustab sama nurga θ PB ja tema enda vahel, kuid PB-st päripäeva. x ja y on ainsad kaks sirget, mis on asümptootilised l-ga läbi P. Kõiki teisi sirgeid läbi P, mis ei lõika l ja mille nurk PB-ga on suurem kui θ, nimetatakse ultraparalleelseteks (või disjointly parallel) sirgeteks l. See tähendab, et nad on ultraparalleelsed (või disjointly parallel). Pange tähele, et kuna on lõpmatult palju võimalikke nurki θ ja 90 kraadi vahel ning igaüks neist määrab kaks sirget läbi P ja disjointly parallel to l, siis on olemas lõpmatult palju ultraparalleelseid sirge.

Seega on meil see paralleelpostulaadi modifitseeritud vorm: P on täpselt kaks sirget läbi P, mis on asümptomaatilised l-ga, ja lõpmatult palju sirge läbi P, mis on ultraparalleelsed l-ga.

Nende joontüüpide erinevusi võib vaadelda ka järgmiselt: asümptootiliste joonte vahemaa jookseb ühes suunas nullini ja kasvab piiramatult teises suunas; ultraparalleelsete joonte vahemaa suureneb mõlemas suunas. Ultraparalleelide teoreem väidab, et hüperboolilisel tasapinnal on olemas unikaalne sirge, mis on risti kummagi antud ultraparalleelide paari sirgega.

Eukleidilises geomeetrias on paralleelsusnurk konstant, st mis tahes kaugus ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } paralleelsete sirgete vahel annab paralleelsusnurga, mis on võrdne 90°. Hüperboolses geomeetrias muutub paralleelsusnurk funktsiooni Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} abil. See Nikolai Ivanovitš Lobatševski poolt kirjeldatud funktsioon annab iga kauguse p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } jaoks unikaalse paralleelsusnurga. . Kauguse lühenedes läheneb Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 90°, samas kui kauguse kasvades läheneb Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 0°. Seega käitub hüperboolne tasand kauguste vähenemisel üha enam nagu eukleidiline geomeetria. Tõepoolest, väikestel skaaladel võrreldes 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , kus K {\displaystyle K\! } on tasandi (konstantne) Gaussi kõverus, oleks vaatlejal raske kindlaks teha, kas ta on eukleidilises või hüperboolses tasandis.

Mitmed geomeetrid, sealhulgas Omar Khayyám ja hiljem Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre, üritasid tõestada paralleelipostulaati. Nende katsed ebaõnnestusid, kuid nende jõupingutused sünnitasid hüperboolse geomeetria. Alhaceni, Khayyami teoreemid nelinurkade kohta olid esimesed hüperboolse geomeetria teoreemid. Nende tööd hüperboolse geomeetria kohta mõjutasid selle arengut hilisemate Euroopa geomeetride, sealhulgas Witelo, Alfonso ja John Wallis, seas.

XIX sajandil uurisid hüperboolilist geomeetriat János Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski, kelle järgi seda mõnikord nimetatakse. Lobatševski avaldas selle 1830. aastal, samas kui Bolyai avastas selle iseseisvalt ja avaldas selle 1832. aastal. Karl Friedrich Gauss uuris samuti hüperboolilist geomeetriat, kirjeldades 1824. aasta kirjas Taurinusele, et ta on selle konstrueerinud, kuid ei avaldanud oma tööd. 1868. aastal esitas Eugenio Beltrami selle mudelid ja kasutas neid, et tõestada, et hüperbooliline geomeetria on kooskõlas, kui eukleidiline geomeetria on.

Termin "hüperboolne geomeetria" võeti kasutusele Felix Kleini poolt 1871. aastal. Ajaloo kohta vaata artiklit mitte-eukleidilise geomeetria kohta.

Hüperboolse geomeetria puhul kasutatakse tavaliselt kolme mudelit: Kleini mudel, Poincaré'i kettamudel ja Lorentzi mudel ehk hüperboloidi mudel. Need mudelid määratlevad reaalse hüperboolse ruumi, mis vastab hüperboolse geomeetria aksioomidele. Vaatamata nimetusele, kaks ketasmudelit ja poolpinnamudelit on hüperboolse ruumi mudelitena kasutusele võtnud Beltrami, mitte Poincaré või Klein.

1. Kleini mudel, mida tuntakse ka projektsioonilise ketta mudeli ja Beltrami-Kleini mudelina, kasutab hüperboolse tasandi jaoks ringi sisemust ja ringi akorde kui jooni.
2. Poincaré'i pooltasapinna mudel võtab hüperboolseks tasandiks ühe poole Eukleidese tasandist, mis on määratud Eukleidese sirgega B (B ise ei ole hõlmatud).
• Hüperboolilised sirgjooned on siis kas poolringid, mis on B suhtes ortogonaalsed, või kiired, mis on B suhtes risti.
• Mõlemad Poincaré-mudelid säilitavad hüperboolsed nurgad ja on seega konformsed. Seetõttu on kõik isomeetriad nendes mudelites Möbiuse transformatsioonid.
• Pooltasandiline mudel on identne (piiril) Poincaré'i ketta mudeliga ketta serval
• See mudel on otseselt rakendatav erirelatiivsusteooria suhtes, kuna Minkowski 3-ruum on ruumiaja mudel, mis jätab ühe ruumilise dimensiooni välja. Hüperboloidi võib võtta nii, et see kujutab sündmusi, milleni erinevad liikuvad vaatlejad, kes kiirgavad ühest punktist ruumitasapinnal välja, jõuavad kindla aja jooksul. Hüperboloidi kahe punkti vahelist hüperboolilist kaugust saab siis samastada kahe vastava vaatleja vahelise suhtelise kiirusega.

M. C. Escheri kuulsad graafilised tööd Circle Limit III ja Circle Limit IV illustreerivad üsna hästi konformset kettamudelit. Mõlemal on näha geodeetilised jooned. (III joonisel ei ole valged jooned mitte geodeetilised, vaid hüpertsüklid, mis kulgevad nende kõrval). Samuti on võimalik üsna selgelt näha hüperboolse tasandi negatiivset kumerust, mis avaldub kolmnurkade ja ruutude nurkade summale.

Eukleidilises tasapinnas oleks nende nurkade summa 450°, s.t. ring ja veerand. Sellest näeme, et kolmnurga nurkade summa hüperboolilisel tasandil peab olema väiksem kui 180°. Teine nähtav omadus on eksponentsiaalne kasv. Näiteks IV ringpiiris on näha, et keskpunktist n kaugusele jäävate inglite ja deemonite arv kasvab eksponentsiaalselt. Deemonitel on võrdne hüperboolne pindala, seega peab n raadiusega palli pindala kasvama eksponentsiaalselt n-ga.

Hüperboolse tasapinna (või selle lähendaja) füüsiliseks realiseerimiseks on mitu võimalust. Eriti tuntud pseudosfääril põhinev pabermudel on William Thurstonile omistatud. Hüperbooliliste tasapindade demonstreerimiseks on kasutatud heegelnõudeid, millest esimese tegi Daina Taimina. 2000. aastal demonstreeris Keith Henderson kiiresti valmistatavat pabermudelit, mida nimetati "hüperbooliliseks jalgpalliks".