Venni diagramm: definitsioon, näited ja rakendused statistikast loogikani

Venni diagramm on diagramm, mis näitab kogumitevahelist loogilist seost. Neid populariseeris John Venn 1880. aastatel ja neid kasutatakse nüüd laialdaselt. Neid kasutatakse elementaarse hulgateooria õpetamiseks ning lihtsate hulgasuhete illustreerimiseks tõenäosuse, loogika, statistika, keeleteaduse ja arvutiteaduse valdkonnas. Venni diagrammi puhul kasutatakse kogumeid kujutamiseks tasandile joonistatud suletud kõveraid. Väga sageli on need kõverad ringid või ellipsid.

Sarnaseid ideid oli välja pakutud juba enne Venni. Christian Weise 1712. aastal (Nucleus Logicoe Wiesianoe) ja Leonhard Euler (Kirjad saksa printsessile) 1768. aastal esitasid sarnaseid ideid. Idee populariseeris Venn oma teoses "Sümboolne loogika", V peatükk "Diagrammiline kujutamine", 1881.

Põhimõisted

Venni diagramm kasutab kujundeid (tavaliselt ringe) selleks, et näidata kogumeid ja nende kattuvusi. Üldine taustiväli esindab universumit (mõnikord tähistatud U), st kõiki võimalikke elemente, mida vaatleme. Iga ring või muu kuju vastab ühele kogumile. Kattuvad alad näitavad ühiseid elemente (intersections), eraldiseisvad alad aga elemente, mis kuuluvad ainult ühte kogumisse.

Kaks ja kolm kogumit: lihtsad näited

• Kaks kogumit (A ja B): kaks kattuvat ringi jagavad tasandi neljaks alaks — ainult A, ainult B, A ∩ B (kattuv osa) ja väljaspool mõlemat (U \ (A ∪ B)). See on kõige levinum ja intuitiivsem kujutis.
• Kolm kogumit (A, B ja C): kolm kattuvat ringi loovad kuni kaheksa eraldiseisvat piirkonda (2^3 = 8), mis võimaldavad kujutada kõiki võimalikke kombinatsioone: ainult A, ainult B, ainult C, A∩B ilma C, A∩C ilma B, B∩C ilma A, A∩B∩C ja väljaspool kõiki.

Matemaatiline notatsioon ja sagedased seosed

• Ühend (union): A ∪ B — kõik elemendid, mis kuuluvad kas A-sse või B-sse (või mõlemasse).
• Ühisosa (intersection): A ∩ B — elemendid, mis kuuluvad nii A-sse kui ka B-sse.
• Komplement: A' või U \ A — kõik elemendid universumist, mis ei kuulu A-sse.
• Erinevus: A \ B — elemendid, mis on A-s, kuid mitte B-s.
• Sümeetriline erinevus: A Δ B — elemendid, mis kuuluvad kas A-sse või B-sse, aga mitte mõlemasse.

Tõenäosuse kontekstis kehtib lihtne valem kahe sündmuse jaoks: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Venni diagrammid aitavad seda valemit visuaalselt mõista ja rakendada.

Kasutusalad

Venni diagramme kasutatakse laialdaselt mitmes valdkonnas:

• Matemaatika ja hulgateooria — hulgaoperatsioonide ja loogiliste suhete illustreerimiseks.
• Tõenäosus ja statistika — sündmuste kattuvuse, ühis- ja eraldi juhtumite selgitamiseks ning valemite visualiseerimiseks.
• Loogika — predikaatide ja loogiliste avaldiste seoste näitamiseks.
• Õpetamine — abstraktsete mõistete lihtsustamiseks visuaalse vahendina.
• Arvutiteadus — andmestruktuuride, päringute ja loogilise filtreerimise kujutamiseks.
• Keeleteadus ja informatsiooniteadus — terminite, märksõnade ja kategooriate kattuvuste analüüsiks.

Erinevus Euleri diagrammiga ja piirangud

Euler kasutas skemat, kus ainult olemasolevad suhted joonistati (st kui kaks kogumit ei lõikunud, ei joonistatud kattuvat ala). Venn aga kavandas diagrammid nii, et kõik loogiliselt võimalikud piirkonnad on selgelt eraldatud, isegi kui mõni piirkond on tühi. Seetõttu on Venn diagrammid formaalsemad ja sobivad teoreetiliseks analüüsiks.

Piirangud:

• Venn diagrammid muutuvad keeruliseks ja raskesti loetavaks, kui kogumeid on palju (näiteks 4 või rohkem ringi nõuab keerukamaid kujundeid või kolmemõõtmelist esitust).
• Mõned konksud ja praktikalised struktuurid (nt osaliselt määratletud seosed või hierarhilised kategooriad) võivad sobida paremini teiste visualiseerimismeetoditega.

Joonistamise ja kasutamise näpunäited

• Kasutage selgeid sümmeetrilisi kujundeid (ringid), et kattuvused oleksid kergesti loetavad.
• Värvige või varjutage piirkonnad, et rõhutada huvipakkuvaid kombinatsioone (hoidke kontrast piisavaks ja värvinägemise piiranguid arvestavaks).
• Tähistage alad tekstiga (näiteks arvud või proportsioonid), kui diagramm on kasutusel andmete esitamiseks.
• Suurt hulka hulkasid analüüsides kaaluge alternatiive (tabellid, maatriksid, interaktiivsed visualiseerimised), et vältida segadust.

Lühike arvuline näide

Oletame, et üritusel on 100 osalejat: 40 armastavad kohvi (A), 30 armastavad teed (B) ja 15 armastavad mõlemat. Kui tahame teada, mitu inimest armastavad kas kohvi või teed, kasutame valemit:

Pidev arvutus: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 40 + 30 − 15 = 55.

See tähendab, et 55 inimest armastavad kas kohvi või teed (või mõlemat). Venni diagramm näitaks seda visuaalselt: A ja B ringid kattuvad alal, kus on 15 inimest.

Kokkuvõte

Venni diagrammid on lihtne ja võimas vahend kogumitevaheliste loogiliste suhete visualiseerimiseks. Nad sobivad hästi haridusse, statistiliste suhete selgitamisse ja probleemi lahendusse, kuid suuremate komplektide puhul tuleb arvestada loetavuse piirangutega. Erinevus Euleri diagrammiga on peamiselt selles, et Venn tagab kõigi loogiliselt võimalikud piirkondade olemasolu, isegi kui mõni neist reaalselt tühi on.

Näide

Järgnevas näites kasutatakse kahte kogumit, A ja B, mis on siinkohal kujutatud värviliste ringidena. Oranž ring, komplekt A, tähistab kõiki elusolendeid, kes on kahejalgsed. Sinine ring, komplekt B, kujutab elusolendeid, kes suudavad lennata. Iga eraldi olenditüüpi võib kujutleda punktina kuskil diagrammil. Elusolendid, kes suudavad nii lennata kui ka kahe jalaga - näiteks papagoid - on siis mõlemas komplektis, nii et nad vastavad punktidele piirkonnas, kus sinine ja oranž ring kattuvad. See ala sisaldab kõiki selliseid ja ainult selliseid elusolendeid.

Inimesed ja pingviinid on kahejalgsed ja asuvad seega oranžis ringis, kuid kuna nad ei oska lennata, siis asuvad nad oranži ringi vasakpoolses osas, kus see ei kattu sinise ringiga. Sääskedel on kuus jalga ja nad lendavad, seega on sääskede punkt sinise ringi osas, mis ei kattu oranžiga. Loomad, kes ei ole kahejalgsed ja ei saa lennata (näiteks vaalad ja ämblikud), on esindatud punktidega, mis asuvad väljaspool mõlemat ringi.

Kogumite A ja B kombineeritud ala nimetatakse A ja B liiduks, mida tähistatakse A ∪ B. Liit sisaldab sel juhul kõiki elusolendeid, mis on kas kahejalgsed või suudavad lennata (või mõlemat). Ala nii A-s kui ka B-s, kus need kaks kogumit kattuvad, nimetatakse A ja B lõikepunktiks, mida tähistatakse A ∩ B. Näiteks kahe kogumi lõikepunkt ei ole tühi, sest seal on punkte, mis esindavad elusolendeid, mis on nii oranžis kui ka sinises ringis.

Komplektid A (kahe jalaga olendid) ja B (lendavad olendid).

Küsimused ja vastused

K: Mis on Venni diagramm?

K: Kes populariseeris Venni diagrammid?

K: Milleks neid kasutatakse?

K: Kes pakkusid välja sarnaseid ideid enne John Venni?

K: Millal avaldas John Venn sümboolse loogika?

K: Millises peatükis sümboolses loogikas populariseeris John Venn Venni diagrammi ideed?

K: Kuidas kujutati neid ideid enne V enndiagrammi tänapäevase versiooni leiutamist?

Otsing