Harmooniline rida (∑1/n): definitsioon, divergentsus ja näited

Asjaolu, et harmooniline jada lahkneb, tõestas esmakordselt 14. sajandil Nicole Oresme, kuid see unustati. Tõendid andsid 17. sajandil Pietro Mengoli, Johann Bernoulli ja Jacob Bernoulli.

Arhitektid on kasutanud harmoonilisi jadasid. Barokiajastul kasutasid arhitektid neid põhiplaanide ja kõrguste proportsioonides ning kirikute ja paleede arhitektuursete detailide vahelistes suhetes.

Harmooniliste seeriate lahknemise kohta on mitu tuntud tõestust. Mõned neist on esitatud allpool.

Võrdlustest

Üks viis diverentsuse tõestamiseks on võrrelda harmoonilist jada teise divergentse jadaga, kus iga nimetaja on asendatud järgmise suurima kahest tuleneva potensiga:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}}+{\frac {1}{8}}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {punane}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{8}}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16}} }}}+\cdots \end{aligned}}}}

Iga harmoonilise seeria termin on suurem või võrdne teise seeria vastava terminiga, mistõttu harmoonilise seeria summa peab olema suurem või võrdne teise seeria summaga. Teise rea summa on aga lõpmatu:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}}\!+\!{\frac {1}{4}}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}}\!+\!{\frac {1}{8}}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}}

Sellest järeldub (võrdlustest), et ka harmooniliste jadade summa peab olema lõpmatu. Täpsemalt, ülaltoodud võrdlus tõestab, et

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}}

iga positiivse täisarvu k korral.

Seda Nicole Oresme'i poolt umbes 1350. aastal esitatud tõestust peetakse keskaegse matemaatika kõrgpunktiks. See on tänapäevalgi matemaatikaõpetuses õpetatav standardtõend.

Integraalne test

On võimalik tõestada, et harmooniline jada lahkneb, võrreldes selle summat ebakorrektse integraaliga. Vaadeldakse paremal oleval joonisel kujutatud ristkülikute paigutust. Iga ristküliku laius on 1 ühik ja kõrgus 1/n ühikut, nii et lõpmatu arvu ristkülikute kogupindala on harmoonilise rea summa:

ristkülikute pindala = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area of}\\\{\text{rectangles}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }

Kogu pindala kõvera y = 1/x all alates 1-st kuni lõpmatuseni on antud lahkneva ebakorrektse integraaliga:

kõveraalune pindala = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{rea under}}\\\{\text{curve}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty . }

Kuna see pindala sisaldub täielikult ristkülikute sees, peab ka ristkülikute kogupindala olema lõpmatu. See tõestab, et

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1). }

Selle argumendi üldistus on tuntud kui integraalne test.

Harmooniline rida erineb väga aeglaselt. Näiteks esimese 1043 termini summa on väiksem kui 100. See on tingitud sellest, et seeria osisummad on logaritmilise kasvuga. Eelkõige,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}

kus γ on Euler-Mascheroni konstant ja εk ~ 1/2k, mis läheneb 0-le, kui k läheb lõpmatusse. Leonhard Euler tõestas nii seda kui ka seda, et summa, mis sisaldab ainult algarvude vasteid, samuti lahkneb, s.t:

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty . }

Lõplikud osalised summad lahknevate harmooniliste seeriate kohta,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}

nimetatakse harmoonilisteks arvudeks.

Hn ja ln n vahe konvergeerub Euler-Mascheroni konstandiga. Kahe mis tahes harmoonilise arvu vahe ei ole kunagi täisarv. Ükski harmooniline arv ei ole täisarv, välja arvatud _H1 = 1.

Vahelduv harmooniline jada

Seeria

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }

on tuntud kui vahelduv harmooniline jada. See rida konvergeerub vahelduvate seeriate katse abil. Eelkõige on summa võrdne 2 naturaallogaritmiga:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}

Vahelduv harmooniline rida on küll tingimuslikult konvergentne, kuid mitte absoluutselt konvergentne: kui seeriatermineid süstemaatiliselt ümber paigutada, muutub summa üldjuhul teistsuguseks ja sõltuvalt ümberpaigutamisest võib see olla isegi lõpmatu.

Vahelduv harmooniline seeria valem on Mercatori seeria erijuht, Taylori seeria naturaalse logaritmi jaoks.

Seotud rea saab tuletada Taylori arktangendi reast:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}. }

Seda nimetatakse Leibnizi jadaks.

Üldine harmooniline rida

Üldine harmooniline jada on kujul

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

kus a ≠ 0 ja b on reaalarvud ja b/a ei ole null või negatiivne täisarv.

Harmooniliste seeriate piirvõrdlustesti järgi erinevad ka kõik üldised harmoonilised seeriad.

p-seeria

Harmoonilise seeria üldistus on p-seeria (või hüperharmooniline seeria), mis on defineeritud kui

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

mis tahes reaalarvu p korral. Kui p = 1, on p-seeria harmooniline seeria, mis lahkneb. Kas integraaltest või Cauchy kondensatsioonitest näitab, et p-seeria konvergeerub kõigi p > 1 korral (sellisel juhul nimetatakse seda üleharmooniliseks seeriaks) ja divergentseks kõigi p ≤ 1 korral. Kui p > 1, siis on p-seeria summa ζ(p), st Riemanni zeta-funktsioon, mida hinnatakse punktis p.

Summa leidmise probleemi p = 2 korral nimetatakse Baseli probleemiks; Leonhard Euler näitas, et see on π2/6. Summa väärtust p = 3 korral nimetatakse Apéry konstantsiks, sest Roger Apéry tõestas, et see on irratsionaalne arv.

ln-seeria

Seotud p-seeriaga on ln-seeria, mis on määratletud kui

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

mis tahes positiivse reaalarvu p korral. Integraaltestiga saab näidata, et see lahkneb, kui p ≤ 1, kuid konvergeerub, kui p > 1.

φ-seeria

Mis tahes kumerate reaalväärtusega funktsioonide φ puhul, mis on sellised, et

lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}}},}

seeria

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}

on konvergentne. ^[]

Juhuslik harmooniline rida

Juhuslik harmooniline rida

∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

kus _sn on sõltumatud, identselt jaotunud juhuslikud muutujad, mis võtavad väärtused +1 ja -1 võrdse tõenäosusega 1/2, on tõenäosusteoorias tuntud näide juhuslike muutujate jada kohta, mis konvergeerub tõenäosusega 1. Selle konvergentsi fakt on lihtne tagajärg kas Kolmogorovi kolme seeria teoreemile või sellega tihedalt seotud Kolmogorovi maksimaalsele ebavõrdsusele. Byron Schmuland Alberta Ülikoolist uuris täiendavalt juhusliku harmoonilise seeria omadusi ja näitas, et konvergentsed seeriad on juhuslikud muutujad, millel on mõned huvitavad omadused. Eelkõige võtab selle juhusliku muutuja tõenäosustiheduse funktsioon, mida hinnatakse +2 või -2 juures, väärtuse 0,124999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999764..., mis erineb 1/8-st vähem kui 10-42 võrra. Schmulandi artikkel selgitab, miks see tõenäosus on nii lähedal, kuid mitte täpselt 1/8-le. Selle tõenäosuse täpne väärtus on antud lõpmatu kosinusprodukti integraali _C2 jagatuna π-ga.

Ammendunud harmooniline rida

On võimalik näidata, et ammendatud harmooniline rida, kus kõik terminid, mille nimetajas esineb number 9, on konvergeerunud ja selle väärtus on väiksem kui 80. Tegelikult, kui eemaldada kõik terminid, mis sisaldavad mingit konkreetset numbrite jada (mis tahes baasil), siis seeria konvergeerub.

Harmooniline rida võib olla vastukaaluks. Seda seetõttu, et tegemist on divergentsete seeriaga, kuigi seeriaterminid muutuvad väiksemaks ja lähevad nulli suunas. Harmoonilise rea divergentsus on mõnede paradokside allikas.

• "uss kummipaelal". Oletame, et uss roomab mööda lõpmatult elastset ühemeetrist kummilinti, samal ajal kui kummilinti ühtlaselt venitatakse. Kui uss liigub 1 sentimeetri minutis ja lind venib 1 meetri minutis, siis kas uss jõuab kunagi kummilindi lõppu? Vastus on vastupidiselt "jah", sest n minuti pärast on usside läbitud teekonna ja kummilindi kogupikkuse suhe järgmine

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}. }

Kuna jada muutub suvaliselt suureks, kui n muutub suuremaks, peab see suhe lõpuks ületama 1, mis tähendab, et uss jõuab kummipaelale. Kuid n väärtus, mille juures see juhtub, peab olema äärmiselt suur: umbes e100, mis on arv, mis ületab 1043 minutit (1037 aastat). Kuigi harmooniline jada lahkneb, teeb ta seda väga aeglaselt.

• Jeepi probleemi puhul küsitakse, kui palju kütust on vaja kokku, et piiratud kütusekandevõimega auto läbiks kõrbe, jättes marsruudil kütusepisaraid. Teatud kütusekogusega läbitav vahemaa on seotud logaritmiliselt kasvavate harmooniliste jadade osisummadega. Ja nii kasvab nõutav kütus eksponentsiaalselt koos soovitud vahemaaga.

• Klotside virnastamise probleem: kui on antud kogum ühesuguseid doominosid, siis on võimalik neid laua servale virnastada nii, et nad ripuvad üle laua serva, ilma et nad maha kukuksid. Vastupidine tulemus on see, et neid saab virnastada nii, et üleulatuvus on nii suur kui soovite. Seda tingimusel, et doominoid on piisavalt palju.

• Ujuja, kes läheb kiiremini iga kord, kui ta puudutab basseini seina. Ujuja alustab 10 meetri pikkuse basseini läbimist kiirusega 2 m/s ja iga läbimisega lisandub kiirusele veel 2 m/s. Teoreetiliselt on ujuja kiirus piiramatu, kuid selle kiiruse saavutamiseks on vaja läbida bassein väga palju kordi; näiteks valguse kiiruse saavutamiseks (kui jätta kõrvale eriline relatiivsusteooria) peab ujuja läbima basseini 150 miljonit korda. Vastupidiselt sellele suurele arvule sõltub antud kiiruse saavutamiseks vajalik aeg mis tahes arvu basseiniületuste seeria summast:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}. }

Summa arvutamine näitab, et valguse kiiruse saavutamiseks kuluv aeg on vaid 97 sekundit.

• Harmooniline areng
• Vastastikuste summade loetelu