Logaritmiline skaala: mõiste ja kasutusalad (näited: maavärinad, pH, heli)
Avasta logaritmiline skaala: mõiste, praktilised näited ja selgitused (maavärinad, pH, heli) — lihtne juhend andmete tõlgendamiseks ja võrdlemiseks.
Logaritmiline skaala on mõõteskaala, mida kasutatakse siis, kui andmed või mõõdetavad suurused ulatuvad väga suurel vahemikul või kui huvi on suhtelistes (suhtarvulistes) muutustes. Levinud kasutusalad on näiteks maavärina tugevuse kirjeldamine, heli helitugevus, valguse intensiivsus ja lahuste pH.
Kuidas logaritmiline skaala töötab
Logaritmiline skaala põhineb suurusjärkudel: skaala iga samm tähistab eelmise väärtuse korrutamist konstantsiga (sageli 10-ga või mõne muu baasil). Matemaatiliselt väljendatuna teisendatakse algne väärtus x logaritmiks: y = log_b(x), kus b on logaritmi alus (nt 10, e või 2). See teisendus surub suure vahemiku kokku ja muudab paljud suhted lihtsamalt käsitletavaks.
Olulisemad omadused ja kasulikkus
- Korrutamine saab liitmiseks: log(x·y) = log x + log y. Seega korrutamis- või jagamisteheted muutuvad log-skaalal lihtsamaks (liitmine või lahutamine).
- Suure vahemiku kokkusurumine: üksikud väga suured või väga väikesed väärtused ei domineeri andmestikku nii tugevasti kui lineaarse skaalaga.
- Lineaaristab võimsusseoseid: kui x ja y on seotud võimsusvõrrandiga y = k·x^a, siis log-log graafikul on see sirge joon (slope = a). See aitab tuvastada reeglipärasusi ja ekstrapoleerida.
- Valikuline alus: logaritmi alus ei muuda suhet, vaid ainult skaalat (loge ja log10 vahel on konstantsed teisendused).
- Negatiivsed log-väärtused: kui mõõdetav suurus on väiksem kui seni valitud ühik või võrdlusväärtus, võivad logaritmilisel skaalal tekkida negatiivsed väärtused (nt pH võib olla ka negatiivne, kui H+ kontsentratsioon on väga suur).
Konkreetsed näited
Maavärinad (Richteri skaala): maavärina suurus määratakse logaritmilisel skaalal, kus ühe ühiku erinevus skaala väärtuses vastab ligikaudu 10-kordselt suuremale amplituudile (ja umbes 31,6-kordselt suuremale eraldatud energiale, sest energia kasvab ligikaudu 10^(1.5) korda ühe skaalaühiku kohta). See tähendab, et tugevuse vahe 2 ühikut on väga suur energiaerinevus.
pH: pH on defined kui pH = −log10[H+], kus [H+] on vesinikioonide kontsentratsioon mol/l. Näiteks pH 3 lahuses on H+ kontsentratsioon 10^3 korda suurem kui pH 6 lahuses — see tähendab 1000 korda rohkem vesinikioone.
Helitugevus ja detsibellid: heli tugevuse mõõtmisel kasutatakse sageli detsibelle (dB), mis on logaritmiline ühik. Helirõhu taseme puhul arvutatakse tavaliselt 20·log10(p/p0) (p on helirõhu amplituud, p0 on võrdlusrõhk), samas kui energiaga seotud suuruste (intensiivsus) puhul kasutatakse 10·log10(I/I0). Näiteks 10 dB intensiivsuse erinevus tähendab 10-kordset intensiivsuse muutust; 20 dB vastab 10-kordsele muutusele rõhuamplituudis (ja 100-kordsele intensiivsuses).
Valguse intensiivsus ja teised näited: valguse erksuse või valgusvoo suhetes kasutatakse sageli logaritmilisi mõõdikuid (nt astronomilised magnituudid on logaritmilised). Samuti kirjeldavad log-skaalad hästi tehnilisi parameetreid (nt elektroonikas võimsused) ja bioloogilisi tajusid — mõned meie meeled reageerivad sisendile mitte lineaarselt, vaid vastavalt võimsuseseadusele (vt Stevensi võimsusseadus).
Taju ja logaritmiline vaste
Mõned inimsüsteemid tajuvad sisendis toimuvat logaritmiliselt: tajutud tugevuse muutus vastab sageli sisendsignaali suhtelisele muutusele. Näiteks tajub meie kuulmismeel sageduste puhul võrdseid korrutisi kui võrdseid helikõrguse erinevusi — see teeb logaritmilised skaalad helisüsteemide ja muusika teooria jaoks eriti sobivaks. (Stevensi seadus kirjeldab sarnasust tajuproportsioonide ja füüsilise stimuluse vahel.)
Kasutuspraktika: graafikud ja interpretatsioon
- Semilog-graafik (x- või y-telg logaritmiline) sobib siis, kui üks mõõdetav suurus ulatub paljudesse kordadesse.
- Log-log graafik muudab võimsus-seosed sirgjooneks, lihtsustades mudelite sobitamist ja eksponentide leidmist.
- Oluline on alati märgata log-skaala alus ja võrrelda ainult samadel alusväärtustel esitatud andmeid; erinevad alused annavad samad suhetele vastavad trendid, kuid erinevate koefitsientidega.
Kokkuvõtlikult teeb logaritmiline skaala suuri vahemikke käsitletavamaks, muudab korrutamise kasutajasõbralikumaks (liitmiseks) ja sobib hästi füüsikaliste ja tajuliste protsesside kirjeldamiseks, kus muutused on suhtelised mitte absoluutsed.
Logaritmiline skaala võimaldab hõlpsasti võrrelda väärtusi, mis hõlmavad suurt vahemikku, nagu näiteks sellel kaardil.
Kaks logaritmilist skaalat joonlaual
Näited
Tuntud näited selliste skaalade kohta on järgmised:
- Richteri magnituudiskaala ja momendi magnituudiskaala (MMS) maavärinate tugevuse ja maa liikumise kohta.
- bel ja decibel ning neper akustilise võimsuse (valjuse) ja elektrilise võimsuse jaoks;
- f-stoppide lugemine fotograafilise ekspositsiooni suhtarvude jaoks;
- madalate tõenäosuste hindamine "üheksade" arvu järgi nende mitteesinemise tõenäosuse kümnendmurde laienduses: näiteks süsteem, mis ebaõnnestub tõenäosusega 10−5on 99,999% usaldusväärne: "viis üheksa".
- Entroopia termodünaamikas.
- Teave infoteoorias.
- Pinnase osakeste suuruse jaotuse kõverad
Mõned logaritmilised skaalad on konstrueeritud nii, et aluseks oleva suuruse suured väärtused (või suhtarvud) vastavad logaritmimõõdu väikestele väärtustele. Sellised skaalad on näiteks järgmised:
Logaritmiline skaala on ka graafiline skaala graafiku ühel või mõlemal küljel, kus number x on trükitud kaugusele c-log(x) punktist, mis on tähistatud numbriga 1. Loogaritmilised skaalad on olemas joonlaual ja nomogrammides kasutatakse sageli logaritmilisi skaalasid. Logaritmilisel skaalal kujutatakse võrdset suurusjärgu erinevust võrdse vahega. Kahe arvu geomeetriline keskmine on keskel asuv arv.
Logaritmiline graafikapaber oli enne arvutigraafika tulekut põhiline teaduslik vahend. Ühe logaritmilise skaalaga paberil võivad eksponentsiaalseid seadusi ja log-logaritmilise paberil võimsusseadusi kujutada sirgjoontena (vt semilogaritmiline graafik, log-logaritmiline graafik).
Küsimused ja vastused
K: Mis on logaritmiline skaala?
V: Logaritmiline skaala on skaala, mida kasutatakse siis, kui suur hulk suurusi on suur.
K: Millised on näited asjadest, mida saab mõõta logaritmilisel skaalal?
V: Maavärina tugevust, heli helitugevust, valguse intensiivsust, epideemiate leviku kiirust ja lahuste pH-d saab mõõta logaritmilisel skaalal.
K: Mille poolest erineb logaritmiline skaala tavapärasest lineaarsest skaalast?
V: Logaritmiline skaala põhineb pigem suurusjärkudel kui standardne lineaarne skaala. Skaala iga märgi väärtus on eelmise märgi väärtus korrutatud konstantsiga.
K: Mis on logaritmilise skaala kasutamise eelis?
V: Logaritmiline skaala võib vähendada suurt väärtuste vahemikku käepärasemaks, mis võib olla kasulik, kui tegemist on laia väärtuste vahemikku hõlmavate andmetega.
K: Mis on Stevensi võimsusseadus ja kuidas see on seotud logaritmiliste skaaladega?
V: Stevensi võimsusseadus kirjeldab, kuidas mõned meie meeled toimivad logaritmiliselt, kus tegeliku sisendtugevuse korrutamine lisab tajutud signaalitugevusele konstandi. See muudab logaritmilised skaalad nende sisendkoguste jaoks eriti sobivaks.
K: Miks on logaritmiline skaala eriti kasulik heli helitugevuse mõõtmiseks?
V: Meie kuulmismeel tajub sageduste võrdseid korrutisi kui võrdseid helikõrguse erinevusi, nii et logaritmiline skaala suudab seda suhet helisageduse ja tajutava helitugevuse vahel täpselt esitada.
K: Milline suhe on aluseks oleva suuruse väikeste kordajate ja logaritmilise mõõtme vahel enamikul logaritmilistel skaaladel?
V: Enamikul logaritmilistel skaaladel vastavad aluseks oleva suuruse väikesed kordajad (või suhtarvud) logaritmilise mõõtme väikestele (võimalik, et negatiivsetele) väärtustele.
Otsige