Logaritmiline skaala on mõõteskaala, mida kasutatakse siis, kui andmed või mõõdetavad suurused ulatuvad väga suurel vahemikul või kui huvi on suhtelistes (suhtarvulistes) muutustes. Levinud kasutusalad on näiteks maavärina tugevuse kirjeldamine, heli helitugevus, valguse intensiivsus ja lahuste pH.
Kuidas logaritmiline skaala töötab
Logaritmiline skaala põhineb suurusjärkudel: skaala iga samm tähistab eelmise väärtuse korrutamist konstantsiga (sageli 10-ga või mõne muu baasil). Matemaatiliselt väljendatuna teisendatakse algne väärtus x logaritmiks: y = log_b(x), kus b on logaritmi alus (nt 10, e või 2). See teisendus surub suure vahemiku kokku ja muudab paljud suhted lihtsamalt käsitletavaks.
Olulisemad omadused ja kasulikkus
- Korrutamine saab liitmiseks: log(x·y) = log x + log y. Seega korrutamis- või jagamisteheted muutuvad log-skaalal lihtsamaks (liitmine või lahutamine).
- Suure vahemiku kokkusurumine: üksikud väga suured või väga väikesed väärtused ei domineeri andmestikku nii tugevasti kui lineaarse skaalaga.
- Lineaaristab võimsusseoseid: kui x ja y on seotud võimsusvõrrandiga y = k·x^a, siis log-log graafikul on see sirge joon (slope = a). See aitab tuvastada reeglipärasusi ja ekstrapoleerida.
- Valikuline alus: logaritmi alus ei muuda suhet, vaid ainult skaalat (loge ja log10 vahel on konstantsed teisendused).
- Negatiivsed log-väärtused: kui mõõdetav suurus on väiksem kui seni valitud ühik või võrdlusväärtus, võivad logaritmilisel skaalal tekkida negatiivsed väärtused (nt pH võib olla ka negatiivne, kui H+ kontsentratsioon on väga suur).
Konkreetsed näited
Maavärinad (Richteri skaala): maavärina suurus määratakse logaritmilisel skaalal, kus ühe ühiku erinevus skaala väärtuses vastab ligikaudu 10-kordselt suuremale amplituudile (ja umbes 31,6-kordselt suuremale eraldatud energiale, sest energia kasvab ligikaudu 10^(1.5) korda ühe skaalaühiku kohta). See tähendab, et tugevuse vahe 2 ühikut on väga suur energiaerinevus.
pH: pH on defined kui pH = −log10[H+], kus [H+] on vesinikioonide kontsentratsioon mol/l. Näiteks pH 3 lahuses on H+ kontsentratsioon 10^3 korda suurem kui pH 6 lahuses — see tähendab 1000 korda rohkem vesinikioone.
Helitugevus ja detsibellid: heli tugevuse mõõtmisel kasutatakse sageli detsibelle (dB), mis on logaritmiline ühik. Helirõhu taseme puhul arvutatakse tavaliselt 20·log10(p/p0) (p on helirõhu amplituud, p0 on võrdlusrõhk), samas kui energiaga seotud suuruste (intensiivsus) puhul kasutatakse 10·log10(I/I0). Näiteks 10 dB intensiivsuse erinevus tähendab 10-kordset intensiivsuse muutust; 20 dB vastab 10-kordsele muutusele rõhuamplituudis (ja 100-kordsele intensiivsuses).
Valguse intensiivsus ja teised näited: valguse erksuse või valgusvoo suhetes kasutatakse sageli logaritmilisi mõõdikuid (nt astronomilised magnituudid on logaritmilised). Samuti kirjeldavad log-skaalad hästi tehnilisi parameetreid (nt elektroonikas võimsused) ja bioloogilisi tajusid — mõned meie meeled reageerivad sisendile mitte lineaarselt, vaid vastavalt võimsuseseadusele (vt Stevensi võimsusseadus).
Taju ja logaritmiline vaste
Mõned inimsüsteemid tajuvad sisendis toimuvat logaritmiliselt: tajutud tugevuse muutus vastab sageli sisendsignaali suhtelisele muutusele. Näiteks tajub meie kuulmismeel sageduste puhul võrdseid korrutisi kui võrdseid helikõrguse erinevusi — see teeb logaritmilised skaalad helisüsteemide ja muusika teooria jaoks eriti sobivaks. (Stevensi seadus kirjeldab sarnasust tajuproportsioonide ja füüsilise stimuluse vahel.)
Kasutuspraktika: graafikud ja interpretatsioon
- Semilog-graafik (x- või y-telg logaritmiline) sobib siis, kui üks mõõdetav suurus ulatub paljudesse kordadesse.
- Log-log graafik muudab võimsus-seosed sirgjooneks, lihtsustades mudelite sobitamist ja eksponentide leidmist.
- Oluline on alati märgata log-skaala alus ja võrrelda ainult samadel alusväärtustel esitatud andmeid; erinevad alused annavad samad suhetele vastavad trendid, kuid erinevate koefitsientidega.
Kokkuvõtlikult teeb logaritmiline skaala suuri vahemikke käsitletavamaks, muudab korrutamise kasutajasõbralikumaks (liitmiseks) ja sobib hästi füüsikaliste ja tajuliste protsesside kirjeldamiseks, kus muutused on suhtelised mitte absoluutsed.
