Schrödingeri võrrand on diferentsiaalvõrrand (võrranditüüp, mis hõlmab pigem tundmatut funktsiooni kui tundmatut arvu), mis on aluseks kvantmehaanikale, mis on üks kõige täpsemaid teooriaid subatomaarsete osakeste käitumise kohta. See on matemaatiline võrrand, mille mõtles välja Erwin Schrödinger 1925. aastal. See määratleb osakese või süsteemi (osakeste rühma) lainefunktsiooni, millel on igas ruumipunktis igal ajahetkel kindel väärtus. Nendel väärtustel ei ole füüsikalist tähendust isiklike mõõtmetena (tegelikult on nad matemaatiliselt keerulised), kuid lainefunktsioon sisaldab kogu teavet, mida osakese või süsteemi kohta saab teada. Seda teavet saab leida, kui lainefunktsiooni matemaatiliselt manipuleerida, et saada reaalseid väärtusi, mis on seotud selliste füüsikaliste omadustega nagu asukoht, impulss, energia jne. Lainefunktsiooni võib pidada pildiks sellest, kuidas see osake või süsteem ajas käitub, ja kirjeldab seda võimalikult täielikult.
Lainefunktsioon võib olla korraga mitmes erinevas olekus ja seega võib osakestel olla korraga mitu erinevat asendit, energiat, kiirust või muud füüsikalist omadust (st "olla korraga kahes kohas"). Kui aga ühte neist omadustest mõõdetakse, siis on tal ainult üks konkreetne väärtus (mida ei saa kindlalt ennustada) ja seega on lainefunktsioon ainult ühes konkreetses olekus. Seda nimetatakse lainefunktsiooni kollapsiks ja tundub, et selle põhjuseks on vaatlus või mõõtmine. Lainefunktsiooni kollapsi täpne põhjus ja tõlgendus on teadusringkondades ikka veel laialdaselt vaieldav.
Aja- ja aja-sõltuv vorm
Ühe osakese jaoks, mis liigub ruumis ainult ühes suunas, näeb Schrödingeri võrrand välja järgmiselt:
- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)}
kus i {\displaystyle i}
on ruutjuur -1-st, ℏ {\displaystyle \hbar } 
on vähendatud Plancki konstant, t {\displaystyle t}
on aeg, x {\displaystyle x}
on asukoht, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} 
on lainefunktsioon ja V ( x ) {\displaystyle V(x)}
on potentsiaalne energia, mis on veel valimata funktsioon asukohast. Vasakpoolne osa on samaväärne Hamiltoni energiaoperaatoriga, mis mõjub Ψ {\displaystyle \Psi } 
.
Ajasõltumatu Schrödingeri võrrand ja eigenväärtusprobleem
Kui potentsiaal V(x) ei sõltu ajast, saab otsida lahendeid kujul Ψ(x,t) = ψ(x) · exp(-iEt/ħ). Sellest eraldades saame aja-sõltumatu Schrödingeri võrrandi:
Hψ(x) = E ψ(x), kus H on Hamiltoni operaator. See on eigenväärtusprobleem: lahend ψ(x) on olekufunktsioon (eigenvõrrand), E on selle oleku energia (eigenväärtus). Sellised lahendid võivad moodustada diskreetse (näiteks kinnises potensiaalis) või pideva spektri (vabas ruumis).
Lainefunktsiooni tõlgendus ja normaliseerimine
Lainefunktsiooni füüsikaline tõlgendus antakse Borni tõlgendusega: |Ψ(x,t)|² on tõenäosustihedus leida osake punktist x ajal t. Seega peab lainefunktsioon olema normaliseeritav, st integraal üle kogu ruumi ∫|Ψ|² dx = 1 (või delta-normalisatsioon laia spektri puhul). Kui funktsioon ei ole normaliseeritud, ei anna see tähendusrikkaid tõenäosusi.
Observaablid ja operaatorid
Kvantmehaanikas esitatakse füüsikalised suurused (näiteks asukoht, impulss, energia) operaatoritena, mis toimivad lainefunktsioonil. Ootused (keskmised väärtused) leitakse kujul <A> = ∫ Ψ* Â Ψ dx. Näiteks impulsi operaator 1D-s on -iħ ∂/∂x. Hamiltoni operaator sisaldab tavaliselt kineetilist osa (-ħ²/2m ∂²/∂x²) ja potentsiaali V(x).
Tõenäosuse säilimine ja tõrjevool
Schrödingeri võrrand järgib tõenäosuse säilitamise printsiipi: integraal ∫|Ψ|² üle kogu ruumi on aja jooksul konstantne. Sellele vastab pidevusevõrrand ja sealt tuletatav tõenäosusevool (probability current) ühe dimensiooni puhul on näiteks
j = (ħ / 2mi) [Ψ* ∂Ψ/∂x − Ψ ∂Ψ*/∂x],
mis väljendab, kuidas tõenäosus voolab ruumis.
Näited ja kvantimõõtmed
- Tühi ruum (vaba osake): lahendid on lainepikkuse planeetlainetena ning energia spekter on pidev.
- Infinite potensiaalkast (infinite well): nurktingimused annavad diskreetse energiatasetega seisundid; see illustreerib kvantimine (energiatasemed on ainult teatud väärtustega).
- Harmooniline oscillaator: hästi lahendatav juhtum, millel on ühtlased energiatasemed E_n = (n + 1/2)ħω ja tuntud lainefunktsioonid (Hermite’i polünoomid korda Gaussi kuju).
Mõõtmise probleem ja tõlgendused
Kuigi Schrödingeri võrrand kirjeldab süsteemi deterministlikku ajas kulgu (ajadeenulik evolutsioon), lisab mõõtmise postulaat mõõtmiste tulemuste juhtumlikkuse: mõõtmisel toimub näiliselt lainefunktsiooni "kollapseerumine" üheks kindlaks tulemuseks. Sellest on välja kasvanud mitmeid tõlgendusi:
- Kopenhaageni tõlgendus: mõõtmine põhjustab lainefunktsiooni tõelise kollapsi; enne mõõtmist kirjeldab Ψ ainult tõenäosuste infot.
- Paljailma (Many-Worlds): kogu superpositsioon jätkab eksisteerimist, kuid iga tulemus realiziseerub eri harusse/maailmas; mõõtmist ei vaja eraldi kollapsi.
- Häirimine ja dekoherentsus: praktiline põhjuste kirjeldus, miks superpositsioon tavaliselt kaob makroskoopilisel tasemel—süsteemi seos keskkonnaga tekitab kiire dekoherentsuse.
Nende tõlgenduste vahel pole konsensust ning see on kvantmehaanika fundamentaalsete küsimuste aktiivne uurimisvaldkond.
Olulised märkused
- Schrödingeri võrrand kehtib mitterekatiivselt ja ei hõlma gravitatsiooni; relatiivsuse-kvantmehaanateooriaid (nagu Diraci võrrand) kasutatakse kõrgetel kiirustel ja spiniga osakeste puhul.
- Lainefunktsioon ise ei ole füüsiline mõõdetav suurus—füüsilised ennustused tehakse alati kujulastitest (nt |Ψ|², ootused ja dispersioonid).
- Praktilised lahendused nõuavad sageli schrödingers-võrrandi analüütilisi või numerilisi meetodeid ning sobivaid piir- ja algtingimusi.
Schrödingeri võrrand on seega kvantmehaanika keskne tööriist — see annab täpse matemaatilise raamistiku osakeste ja kvantsüsteemide ennustamiseks, ent samal ajal moodustab aluse sügavamatele filosoofilistele küsimustele mõõtmise ja reaalsuse kohta.
