Schrödingeri võrrand

Schrödingeri võrrand on diferentsiaalvõrrand (võrranditüüp, mis hõlmab pigem tundmatut funktsiooni kui tundmatut arvu), mis on aluseks kvantmehaanikale, mis on üks kõige täpsemaid teooriaid subatomaarsete osakeste käitumise kohta. See on matemaatiline võrrand, mille mõtles välja Erwin Schrödinger 1925. aastal. See määratleb osakese või süsteemi (osakeste rühma) lainefunktsiooni, millel on igas ruumipunktis igal ajahetkel kindel väärtus. Nendel väärtustel ei ole füüsikalist tähendust (tegelikult on nad matemaatiliselt keerulised), kuid lainefunktsioon sisaldab kogu teavet, mida osakese või süsteemi kohta saab teada. Seda teavet saab leida, kui lainefunktsiooni matemaatiliselt manipuleerida, et saada reaalseid väärtusi, mis on seotud selliste füüsikaliste omadustega nagu asukoht, impulss, energia jne. Lainefunktsiooni võib pidada pildiks sellest, kuidas see osake või süsteem ajas käitub, ja kirjeldab seda võimalikult täielikult.

Lainefunktsioon võib olla korraga mitmes erinevas olekus ja seega võib osakestel olla korraga mitu erinevat asendit, energiat, kiirust või muud füüsikalist omadust (st "olla korraga kahes kohas"). Kui aga ühte neist omadustest mõõdetakse, siis on tal ainult üks konkreetne väärtus (mida ei saa kindlalt ennustada) ja seega on lainefunktsioon ainult ühes konkreetses olekus. Seda nimetatakse lainefunktsiooni kollapsiks ja tundub, et selle põhjuseks on vaatlus või mõõtmine. Lainefunktsiooni kollapsi täpne põhjus ja tõlgendus on teadusringkondades ikka veel laialdaselt vaieldav.

Ühe osakese jaoks, mis liigub ruumis ainult ühes suunas, näeb Schrödingeri võrrand välja järgmiselt:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

kus i {\displaystyle i} $i$ on ruutjuur -1-st, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ on vähendatud Plancki konstant, t {\displaystyle t} $t$ on aeg, x {\displaystyle x} on asukoht, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ on lainefunktsioon ja V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ on potentsiaalne energia, mis on veel valimata funktsioon asukohast. Vasakpoolne osa on samaväärne Hamiltoni energiaoperaatoriga, mis mõjub Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Erwin Schrödingeri büst Viini ülikoolis. Sellel on kujutatud ka Schrödingeri võrrand.

Ajast sõltumatu versioon

Eeldades, et lainefunktsioon Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , on lahutatav, st eeldades, et kahe muutuja funktsiooni saab kirjutada kahe erineva ühe muutuja funktsiooni korrutisena:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

siis, kasutades standardseid matemaatilisi meetodeid osaliste diferentsiaalvõrrandite kohta, saab näidata, et lainegurvet saab ümber kirjutada kahe erineva diferentsiaalvõrrandina

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

kus esimene võrrand sõltub ainult ajast T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ ja teine võrrand sõltub ainult asukohast ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ ja kus E {\displaystyle E} $E$ on lihtsalt arv. Esimese võrrandi saab kohe lahendada, et saada

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

kus e {\displaystyle e} $e$ on Euleri arv. Teise võrrandi lahendused sõltuvad potentsiaalsest energiafunktsioonist V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ ja seega ei saa neid lahendada enne, kui see funktsioon on antud. Kvantmehaanika abil saab näidata, et arv E {\displaystyle E} $E$ on tegelikult süsteemi energia, nii et need eraldatavad lainefunktsioonid kirjeldavad konstantse energiaga süsteeme. Kuna energia on paljudes olulistes füüsikalistes süsteemides (näiteks: elektron aatomis) konstantne, kasutatakse sageli eespool esitatud eraldatud diferentsiaalvõrrandite kogumi teist võrrandit. Seda võrrandit nimetatakse ajast sõltumatuks Šrödingeri võrrandiks, kuna see ei hõlma t {\displaystyle t} $t$ .

Lainefunktsiooni tõlgendused

Sündinud tõlgendus

Lainefunktsioonil on palju filosoofilisi tõlgendusi, millest siinkohal vaadeldakse mõningaid juhtivaid ideid. Peamine idee, mida nimetatakse Borni tõenäosuse tõlgenduseks (mis on saanud nime füüsik Max Bori järgi), tuleneb lihtsast ideest, et lainefunktsioon on ruutintegreeritav, st.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Sellel üsna lihtsal valemil on suured füüsikalised tagajärjed. Born püstitas hüpoteesi, et ülaltoodud integraal määrab, et osake eksisteerib kusagil kosmoses. Aga kuidas me saame seda leida? Kasutame integraali

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

kus P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} on tõenäosus $P(b<x<a)$ leida osakest piirkonnas b {\displaystyle b} kuni a {\displaystyle $b$ a} . Teisisõnu, kõik, mida osakese kohta üldiselt saab ette teada, on tõenäosused, keskmised ja muud statistilised suurused, mis on seotud tema füüsikaliste suurustega (asukoht, impulss jne). Põhimõtteliselt on see Borni tõlgendus.

Kopenhaageni tõlgendus

Ülaltoodud ideid võib laiendada. Kuna Borni tõlgendus ütleb, et osakese tegelikku asukohta ei saa teada, siis võime tuletada järgmist. Kui Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ on lainegarantii lahendused, siis nende lahenduste superpositsioon, st.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

on samuti lahendus. See tähendab siis, et osakese on olemas igas võimalikus asendis. Kui vaatleja tuleb ja mõõdab osakese asendit, siis taandub superpositsioon ühele võimalikule lainefunktsioonile. (s.t. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , kus Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ on mõni võimalik lainefunktsiooni olek). Sellest ideest, et osakese asukohta ei saa täpselt teada ja et osakestel on samaaegselt mitu asukohta, tuleneb määramatuse printsiip. Selle printsiibi matemaatilise sõnastuse võib esitada järgmiselt

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Kus Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ on asukoha määramatus ja Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ on impulsi määramatus. Seda põhimõtet saab matemaatiliselt tuletada kvantmehaanikas defineeritud Fourier' teisendustest impulsi ja asendi vahel, kuid me ei hakka seda käesolevas artiklis tuletama.

Muud tõlgendused

On olemas mitmesuguseid teisi tõlgendusi, näiteks paljude maailmade tõlgendus ja kvantdeterminism.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Schrödingeri võrrand?

V: Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika aluseks olev diferentsiaalvõrrand, mille mõtles välja Erwin Schrödinger 1925. aastal. See määratleb osakese või süsteemi lainefunktsiooni, millel on igas ruumipunktis igal ajahetkel kindel väärtus.

Küsimus: Millist teavet saab leida lainefunktsiooni manipuleerides?

V: Lainefunktsiooni matemaatiliselt manipuleerides saab leida reaalseid väärtusi, mis on seotud selliste füüsikaliste omadustega nagu asukoht, impulss, energia jne.

K: Mida tähendab see, kui osakestel võib olla korraga mitu erinevat asendit, energiat, kiirust või muud füüsikalist omadust?

V: See tähendab, et lainefunktsioon võib olla korraga mitmes erinevas olekus ja seega võib osakestel olla korraga mitu erinevat asendit, energiat, kiirust või muud füüsikalist omadust (st "olla korraga kahes kohas").

K: Mis on lainefunktsiooni kokkuvarisemine?

V: Lainefunktsiooni kollaps on see, et kui üks neist omadustest on mõõdetud, siis on tal ainult üks konkreetne väärtus (mida ei saa kindlalt ennustada) ja lainefunktsioon on seega ainult ühes konkreetses olekus. See näib olevat tingitud vaatlusest või mõõtmisest.

Küsimus: Millised on mõned Schrödingeri võrrandi komponendid?

V: Schrödingeri võrrandi komponentide hulka kuuluvad i, mis on võrdne ruutjuurega -1; ℏ, mis kujutab vähendatud Plancki konstanti; t, mis tähistab aega; x, mis tähistab asendit; Ψ (x , t), mis tähistab lainefunktsiooni; ja V(x), mis kujutab potentsiaalset energiat kui veel valimata funktsiooni asendi suhtes.

K: Kuidas me tõlgendame lainefunktsiooni kokkuvarisemist?

V: Lainefunktsiooni kokkuvarisemise täpne põhjus ja tõlgendus on teadlaskonnas ikka veel laialdaselt vaieldav.