Pindintegraal: definitsioon, tüübid ja rakendused füüsikas

Pindintegraal: selge definitsioon, tüübid ja füüsika rakendused — praktilised näited elektromagnetismist ning skalaar- ja vektorväljade integreerimisest.

Autor: Leandro Alegsa

09-11-2025 18:13

Matemaatikas on pindintegraal kindel integraal, mis on võetud üle pinna (mis võib olla ka kõverakordaja ruumis). Nii nagu joonintegraal käsitleb ühte mõõdet või ühte muutujat, võib pindintegraali pidada kahekordseks integraaliks piki kahte mõõdet. Arvestades pinda, võib integreerida selle skalaarväljade (st funktsioonid, mis annavad väärtustena arvud) ja vektorväljade (st funktsioonid, mis annavad väärtustena vektorid) üle.

Pindintegraalidel on rakendusi füüsikas, eriti elektromagnetismi klassikalises teoorias.

Mis on pindintegraal — põhimõte ja arvutus

Lihtsustatult arvestab pindintegraal mingi väljendi (skalaar- või vektorväli) koguväärtust üle pinnal, lõigates pinna väikesteks elemendiks ja summeerides elemendite panused. Oluline on pind parametreerida: tavapärane parameetriseerimine on r(u,v), kus (u,v) kuuluvad mõnda piirkonda D tasandil.

Olulised valemid:

Skalaari pindintegraal: ∬_S f dS = ∬_D f(r(u,v)) · |r_u × r_v| dudv, kus r_u ja r_v on osatuletised.
Vektori pindintegraal (voo ehk fluksi integraal): ∬_S F · n dS = ∬_D F(r(u,v)) · (r_u × r_v) dudv. Siin võib kasutada ühiknormaali n = ±(r_u × r_v)/|r_u × r_v|, sõltuvalt orienteeritusest.
Kui pind on antud kujul z = g(x,y), siis pindelement dS = sqrt(1 + g_x^2 + g_y^2) dx dy ja seega ∬_S f dS = ∬_D f(x,y,g(x,y)) sqrt(1+g_x^2+g_y^2) dx dy.

Tüübid ja olulisemad mõisted

Skalaari pindintegraal mõõdab näiteks pinna suletud osa massi, kui massitihedus on antud kui funktsioon pinna punktides.
Vektori pindintegraal / voog (flux) annab välja, kui suur osa vektorväljasta läbib pinna — oluline voolukiiruse, elektri- ja magnetväljade puhul.
Suletud pindintegraal tähistab integreerimist suletud pinnal; sellega seonduvad oluliseks Gaussi ehk divergensi teoreem ja mahu- ning voogarvutused.
Orienteeritus — pinna normaal võib olla valitud kaks võimalikku suunda; orienteeritus määrab integrali märgi, eriti vektorväljade puhul.
Pinna sujuvus — arvutused eeldavad tavaliselt, et pind on vähemalt tükiti-sile (piecewise-smooth) ja integreeritav väli on pidev või korralikult lõimitav.

Arvutusmeetod ja sammud

Vali mugav parameetriseerimine r(u,v) pindala D jaoks.
Arvuta osatuletised r_u ja r_v ning ristkorrutis r_u × r_v.
Koosta integrand: skalaari integrali puhul f(r(u,v))·|r_u × r_v|, vektori puhul F(r(u,v))·(r_u × r_v).
Vali sobiv orientatsioon (vajadusel ühiknormaal n) ja integreeri üle D dudv.
Kui pind on antud implitsiitselt või kui sobib teisendamine z = g(x,y), vii pindintegraal vastavasse topeltintegrali.

Seosed teiste teoreemidega

Divergensi teoreem (Gauss): ∬_{∂V} F · n dS = ∭_V div F dV — ühendab suletud pindintegraali ruumilise mahuintegraaliga.
Stokes'i teoreem: ∮_{∂S} F · dr = ∬_S (curl F) · n dS — seob joondintegraali ja pindintegraali, oluline magnetvälja ja elektrivälja pöördvuste mõistmisel.

Rakendused füüsikas

Elektrostaatikas: Gaussi seadus — elektrivälja E voog suletud pinnal annab keha sees oleva laengu: ∬_S E · n dS = Q_kinternal/ε0.
Magnetism: magnetvoo arvutused, kus suletud magnetvälja voog suletud pinnal on null (puuduvad monopoolid): ∬_S B · n dS = 0.
Vedelikud ja aerodünaamika: voog läbi pinna mõõdab mahu- või massivedelikukiirust, mida kasutatakse mahuvarustuse ja kiiruse arvutamiseks.
Soojusvoog: pindintegraale kasutatakse soojusvoo arvutamiseks läbi pindade, eriti kui soojusvoog sõltub positsioonist ja orienteeritusest.
Maxwelli võrrandid ja elektromagnetilise välja teooria kasutavad pindintegraale mitmes olulises seoses (induktsiooniseadus, Gaussi seadus jt).

Praktiline näide (kontseptsiooniliselt)

Kujutle pinna, mis on sfääripind raadiusega R, ning vektorväli F = c·r, kus c on konstant ja r asukoordvektor. Sfääripinna normaal on r/|r|. Voo ∬_S F · n dS = ∬_S c r · (r/|r|) dS = ∬_S c |r| dS = cR ∬_S dS = cR · 4πR^2 = 4π c R^3. Selline lihtsustatud arvutus illustreerib, kuidas parameetriseerimine ja normaali kasutamine annavad otse fluksi väärtuse (detailsem samm: r_u × r_v annab pindelemendi ja normali suuna).

Lõppsõna

Pindintegraalid on matemaatikas ja füüsikas võimas vahend paiksete ja globaalsemate omaduste arvutamiseks pindadel. Õige parameetriseerimine, orientatsioon ja valemite mõistmine on põhioskused, mis võimaldavad neid integraale edukalt rakendada mitmesugustes probleemides — alates pindade pindalast kuni elektriväljade ja vedelike voo analüüsini.

Pinnaintegraali määratlus põhineb pinna jagamisel väikesteks pindalalisteks elementideks.

Ühe pindelemendi illustratsioon. Need elemendid tehakse piiramisprotsessi abil lõpmatult väikeseks, et lähendada pinda.

Skalaarväljade pindintegraalid

Vaatleme pinda S, millel on defineeritud skalaarväli f. Kui mõelda, et S on valmistatud mingist materjalist ja iga x kohta S-s on arv f(x) materjali tihedus x juures, siis on f pinna integraal üle S massiühiku S paksuseühiku kohta. (See kehtib ainult siis, kui pind on lõpmatult õhuke kest.) Üks lähenemisviis pindintegraali arvutamiseks on siis jagada pind paljudeks väga väikesteks tükkideks, eeldada, et igas tükis on tihedus ligikaudu konstantne, leida iga tüki mass ühiku paksuse kohta, korrutades tüki tiheduse selle pindalaga, ja seejärel summeerida saadud arvud, et leida kogu mass S-i ühiku paksuse kohta.

Pinnaintegraali selgesõnalise valemi leidmiseks parameetriseerivad matemaatikud S-i, käsitledes S-i kohta kõverjooneliste koordinaatide süsteemi, nagu laius- ja pikkuskraadid kera peal. Olgu selline parametriseerimine x(s, t), kus (s, t) varieerub mõnes tasandi piirkonnas T. Siis on pinnaintegraal antud järgmiselt

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt} $\int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt$

kus parempoolsete tulpade vahel olev väljend on x(s, t) osaliste tuletiste ristprodukti suurus.

Näiteks mingi üldise funktsionaalse kuju, näiteks z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)} $z=f\,(x,y)$ , pindala leidmiseks on meil järgmised tingimused

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy} $A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy$

kus r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} $\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ . Nii et ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} ${\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))$ ja ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))} ${\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))$ . Niisiis,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}$

mis on valem, mida kasutatakse üldise funktsionaalse kuju pindala jaoks. Teises reas olev vektor on äratuntav kui pinna normaalvektor.

Pange tähele, et ristprodukti olemasolu tõttu toimivad ülaltoodud valemid ainult kolmemõõtmelisse ruumi paigutatud pindade puhul.

Vektorväljade pindintegraalid

Vaatleme vektorvälja v S-i peal, s.t. iga x-i jaoks S-is on v(x) vektor.

Pinnaintegraali saab defineerida komponentide kaupa vastavalt skalaarvälja pinnaintegraali definitsioonile; tulemuseks on vektor. See kehtib näiteks elektrivälja kohta mingis fikseeritud punktis elektriliselt laetud pinna tõttu või gravitatsiooni kohta mingis fikseeritud punktis materjalilehe tõttu. Samuti saab arvutada magnetvoo läbi pinna.

Alternatiivina võivad matemaatikud integreerida vektorvälja normaalkomponendi; tulemuseks on skalaar. Näide on läbi S voolav vedelik, nii et v(x) määrab vedeliku kiiruse x juures. Vool on defineeritud kui läbi S voolava vedeliku kogus ajaühikus.

See joonis tähendab, et kui vektorväli on igas punktis S-i suhtes puutuja, siis on voolu väärtus null, sest vedelik voolab lihtsalt paralleelselt S-ga, mitte sisse ega välja. See tähendab ka seda, et kui v ei voola ainult piki S, st kui v-l on nii tangentsiaalne kui ka normaalkomponent, siis panustab voogusse ainult normaalkomponent. Selle arutluse põhjal peame voo leidmiseks võtma igas punktis v punktprodukti ühikpinna normaaliga S, mis annab meile skalaarvälja, ja integreerima saadud välja nagu eespool kirjeldatud. See annab valemi

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt. } $\int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt.$

Selle väljendi paremal poolel olev risttoode on parameetriseerimise abil määratud pinnanormaalne.

See valem määratleb integraali vasakul (pange tähele punkti ja vektori märkimist pinnaelemendi jaoks).

Vektorväli pinnal.

Pindintegraalidega seotud teoreemid

Erinevaid kasulikke tulemusi pinnaintegraalide kohta saab tuletada, kasutades diferentsiaalgeomeetriat ja vektorarvutust, näiteks diverentsiteoreem ja selle üldistus, Stokesi teoreem.

Täiendavad probleemid

Parameetriseerimise muutmine

Eelnevas arutelus defineeriti pindintegraal, kasutades pinna S parameetriseerimist. Antud pinnal võib olla mitu parameetriseerimist. Näiteks kui põhjapooluse ja lõunapooluse asukohti kera peal liigutatakse, muutuvad laius- ja pikkuskraadid kõigi kera punktide jaoks. Loomulik küsimus on siis, kas pinnaintegraali definitsioon sõltub valitud parameetrist. Skalaarväljade integraalide puhul on vastus sellele küsimusele lihtne: pindintegraali väärtus on sama, olenemata sellest, millist parameetriseerimist kasutatakse.

Vektorväljade integraalid on keerulisemad, sest kaasatud on pinnanormaalne. Matemaatikud on tõestanud, et sama pinna kahe parameetriseeringu korral, mille pinnanormaalid osutavad samasse suunda, annavad mõlemad parameetriseeringud pinnaintegraalile sama väärtuse. Kui aga nende parameetriseeringute normaalid osutavad vastassuundadesse, on ühe parameetriseeringu abil saadud pindintegraali väärtus negatiivne teise parameetriseeringu abil saadud väärtusest. Sellest järeldub, et antud pinna puhul ei pea me kinni pidama ühest parameetriseerimisest; kuid vektorväljade integreerimisel peame eelnevalt otsustama, millises suunas normaalid osutavad, ja seejärel valima mis tahes parameetriseerimise, mis on selle suunaga kooskõlas.

Parameetriseerimised töötavad pinnal osadel

Teine probleem on see, et mõnikord ei ole pindadel parameetrid, mis katavad kogu pinna; see kehtib näiteks silindri (piiratud kõrgusega) pinna kohta. Selge lahendus on siis jagada see pind mitmeks tükiks, arvutada pindintegraal iga osa kohta ja seejärel liita need kõik kokku. Nii asi tõepoolest toimib, kuid vektorväljade integreerimisel tuleb jällegi olla ettevaatlik, kuidas valida pinna igale tükile normaalpunkti vektor, nii et tükid uuesti kokku pannes oleksid tulemused järjepidevad. Silindri puhul tähendab see, et kui me otsustame, et külgpiirkonna jaoks näitab normaal kehast välja, siis ka ülemise ja alumise ringikujulise osa jaoks peab normaal kehast välja näitama.

Ebajärjekindlad pinnanormaalid

Lõpuks on olemas pinnad, millel ei ole igas punktis pinnanormaali, mille tulemused on järjepidevad (näiteks Möbiuse riba). Kui selline pind jagatakse tükkideks, igale tükile valitakse parameetriseering ja vastav pinnanormaal ning tükid pannakse uuesti kokku, ei saa eri tükkidest pärinevaid normaalvektoreid omavahel kokku viia. See tähendab, et mõnes kahe tüki vahelises ristumiskohas on normaalvektorid vastupidistes suundades. Sellist pinda nimetatakse mitteorienteeritavaks. Vektorvälju ei saa integreerida mitteorienteeruvatel pindadel.

Seotud leheküljed

Diverentsiteoreem
Stokesi teoreem
Joonintegraal
Integraalne maht
Kartesiaanlik koordinaatsüsteem
Ruumala ja pindala elemendid sfäärilises koordinaatsüsteemis
Mahu ja pindala elemendid silindrilises koordinaatsüsteemis
Holstein-Heringi meetod

Otsige